Che cos'è un integrale?
In matematica, parliamo di due tipi di integrali. Integrali definiti e integrali indefiniti.
Generalmente, un integrale assegna i numeri alle funzioni in modo tale da descrivere lo spostamento, l'area, il volume e persino la probabilità.
Integrali definiti
Questo tipo di integrale si riferisce a valori numerici. È usato in matematica pura, matematica applicata, statistica, scienza e molti altri. Tuttavia, descrive il concetto basilare di un integrale definito aree.
L'integrale definito di una funzione #f# per un intervallo #[a,b]# rappresenta l'area definita dalla funzione e l'asse x dal punto #a# puntare #b#, Come mostrato di seguito.
Il simbolo utilizzato per rappresentare questa area #S# e integrale, rispettivamente, è
#S=int_a^b f(x)"d"x#, Dove
#diamond f " is called the integrand"#
#diamond a and b " are the lower and upper bounds"#
#diamond x " is a dummy variable"#
Forse ti starai chiedendo cosa #"d"x# si intende. Formalmente, non significa nulla, ma piuttosto ti dice quale variabile stai differenziando rispetto o nel nostro caso, ti dice la variabile di integrazione.
Quando diciamo l'area definita dalla funzione #f# con l'asse x, intendiamo il area netta. L'area netta non è la stessa dell'area assoluta.
Se il grafico della funzione è sopra l'asse x, allora si dice che l'area netta è positiva. Se è inferiore, l'area netta è negativa. All'inizio potrebbe essere più difficile da capire. Questo è visualizzato di seguito:
Ad esempio, supponiamo che abbiamo il compito di trovare l'area netta sotto la curva #f(x)=x^2# da #0# a #1#:
Nel nostro caso,
#S = int_0^1 x^2 "d"x#
Per non complicare questa risposta, ecco un video che la descrive in modo più dettagliato:
Come tale, è stato dimostrato che #S=1/3#.
Possiamo fare un caso generale qui; per ogni #n!=-1#,
#int_0^tau x^n "d"x = tau^(n+1)/(n+1)#
Allo stesso tempo, il video descrive Riemann fa una somma. Questi sono usati per calcolare gli integrali. Generalmente, la somma di Riemann di una funzione #phi# is
#int_a^b phi(x)dx = lim_(n->oo) sum_(i=an)^(bn) phi(x_i)Deltax_i #
where #Deltax_i = x_i-x_(i-1)# e #x_i#, come menzionato nel video sopra, rappresentano alcuni "segni" sull'asse x. Una possibile soluzione è lasciare #x_i=i"/"n#. Poi #Deltax_i = 1"/"n#. Sebbene ciò sia generalmente più semplice, potrebbe non essere il modo più semplice o veloce per calcolare gli integrali.
Se ricordiamo il caso generale formato in precedenza, sull'integrale di #x^n# da #0# a #tau#; bene, questa è chiamata la regola del potere. Esistono molte, diverse modalità di formule per integrali, che non tratterò in questa risposta. Questa è solo un'idea molto generale di cosa siano gli integrali.
Integrali indefiniti
Questi sono rappresentati come integrali con limiti. Permettere #I# essere l'integrale indefinito di una funzione #f#.
#I=int f(x)"d"x#
Puoi pensare agli integrali indefiniti come generalizzazioni di quelli definiti.
Invece di essere definiti da aree, volumi o qualcos'altro, gli integrali indefiniti sono correlati ai derivati. L'integrale indefinito di una funzione #f# è anche chiamato il antiderivata ed è spesso notato come #F(x)#.
The Teorema fondamentale del calcolo colma il divario tra una funzione, il suo derivato e il suo integrale indefinito. Fondamentalmente, lo dice #F# è definita come la funzione che, quando differenziata, dà #f#:
#F'(x) = f(x)#
Ora, supponiamo di voler trovare l'antiderivativo della funzione #f(x)=x^2#.
#F(x) = int f(x)"d"x=intx^2"d"x#
Usando la nostra precedente definizione, quale funzione dobbiamo differenziare per ottenere #x^2#? La regola del potere per i derivati afferma che, se #f(x)=x^n#, poi #f'(x) = nx^(n-1)#. Come tale, se assumiamo #F(x)# essere una funzione algebrica del tipo
#F(x) = "constant"*x^"exponent"#, noi abbiamo:
#F(x) = cx^k => F'(x) = ckx^(k-1)#
Solo che questo non è completo. Ricorda che, differenziando una costante rispetto a una variabile, praticamente scompare, da cui la vera forma di #F(x)# is
#F(x) = "constant"_1*x^"exponent"+"constant"_2#
lasciare #alpha# e #C# essere le due costanti e #k# l'esponente.
#F(x) = alphax^k + C => F'(x) = alphakx^(k-1)#
Dal #F'(x) = f(x)#, possiamo concludere che
#alphakx^(k-1)=x^2=>{(k-1=2),(alphak=1) :}<=>{(k=3),(alpha=1/3) :}#
#:. int x^2"d"x = x^3/3+C#
Analogamente, se definiamo #f(x) = x^n# for #n!=-1#, poi
#F(x) = int x^n "d"x = x^(n+1)/(n+1)+C#
#C# è chiamata la costante di integrazioni ed è semplicemente una costante casuale. Non è un valore particolare. È lì solo per motivi di correttezza.
Colmare il divario tra integrali definiti e indefiniti
Il nostro precedente antiderivativo di #x^n# assomiglia a qualcosa che abbiamo ottenuto in precedenza parlando di integrali definiti. Lo vediamo, se lo permettiamo #C# essere #0#, poi
#F_((C=0))(tau) = tau^(n+1)/(n+1)#
Ma sappiamo che anche questo è uguale a #int_0^tau x^n "d"x#:
#F_((C=0))(tau) = int_0^tau x^n "d"x#
È qui che è visibile la connessione tra integrali definiti e integrali indefiniti, dichiarata formalmente di seguito:
If #F(x)# è l'antiderivativo di una funzione #f(x)# e lasciamo #C=0#, poi
#int_a^b f(x) "d"x = F(b)-F(a)#
Spero che questa risposta non sia stata troppo intimidatoria.