Ci sono 2 scatole identiche, 2 palle bianche identiche, 1 palla rossa e 1 palla blu. In quanti modi diversi possiamo riempire ogni scatola esattamente con 2 palline? In quanti modi diversi possiamo riempire una scatola con 3 palline e l'altra con 1?
Risposta:
2 palline in una scatola = 4 vie. 3 palline in una scatola = 6 vie. 4 palline in una scatola = 2 vie. Il numero di modi per mettere i marmi nelle due scatole = 12.
Spiegazione:
Abbiamo 2 scatole e 4 palline (2 bianche, 1 rossa, 1 blu) e abbiamo una serie di domande sul numero di modi in cui possiamo distribuire le palline attraverso le scatole.
2 palline per scatola
Nel riquadro A, possiamo inserire 2 biglie:
WW, WR, WB, BR
e l'altra scatola prenderà gli altri 2 marmi. E quindi ci sono 4 modi per farlo.
Possiamo farlo algebricamente dicendo che abbiamo una combinazione con una popolazione di 4, scegliendo 2 e dividendo per #2!# per tenere conto delle biglie bianche identiche e aggiungere 1 per poter consentire entrambe le biglie bianche nella stessa scatola. La formula generale per una combinazione è:
#C_(n,k)=(n!)/((k)!(n-k)!)# con i #n="population", k="picks"#
e quindi abbiamo:
#C_(4,2)/(2!)+1=(4!)/((2!)(4-2)!(2!))=(4!)/((2!)(2!)(2!))+1=>#
#24/8+1=3+1=4#
3 palline in 1 scatola, 1 nell'altra
Nel riquadro A, possiamo inserire 3 biglie:
WWR, WWB, WRB
e l'altra scatola prenderà l'altro marmo. E quindi ci sono 3 modi per farlo per il Box A. Ci sono anche 3 modi per farlo per il Box B, per un totale di 6 modi.
Possiamo farlo algebricamente dicendo che abbiamo una combinazione con una popolazione di 4, scegliendo 3, dividendola per #2!# per tenere conto delle biglie bianche identiche e aggiungere 1 per tenere conto delle due biglie bianche che si trovano nella stessa casella, quindi moltiplicare per 2 per le due scatole:
#2(C_(4,3)/(2!)+1)=2((4!)/((3!)(4-3)!(2!))+1)=>#
#2((4!)/((3!)(1!)(2!))+1)=>#
#2((24/12)+1)=2(2+1)=2(3)=6#
4 palline in una scatola
C'è solo 1 modo per posizionare tutti e 4 i biglie nella casella A e 1 modo per farlo con la casella B, quindi ci sono 2 modi in totale.
Qualsiasi numero di palline nelle scatole - tutti i marmi devono essere nelle scatole
Se permettiamo un numero qualsiasi di biglie nelle scatole e tutti i biglie devono essere nelle scatole, possiamo semplicemente aggiungere le diverse risposte insieme:
#4+6+2=12#