Come integrare arc sin x dx?

Procederemo utilizzando integrazione per sostituzione e integrazione per parti.

Sostituzione:

lasciare #t = arcsin(x) => x = sin(t)# e #dx = cos(t)dt#

Quindi, sostituendo, abbiamo

#intarcsin(x)dx = inttcos(t)dt#

Integrazione per parti:

lasciare #u = t# e #dv = cos(t)dt#

Poi #du = dt# e #v = sin(t)#

Dall'integrazione per formula delle parti #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t)-intsint(t)dt#

#=tsint(t)-(-cos(t)+C)#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

#=arcsin(x)*sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x))+C#

As #sin(arcsin(x)) = x# e #cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)#

(prova a disegnare un triangolo rettangolo in cui #sin(theta)=x# e calcola #cos(theta)# ottenere la seconda uguaglianza)

otteniamo il nostro risultato finale:

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#