Come si dimostra che #cos (xy) = cosxcosy + sinxsiny #?

#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#
può essere dimostrato mostrandolo prima
#cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
e quindi fare la conversione usando il principio CAST come indicato.

1. Sono sicuro che ci sono altri modi per farlo; ma questo è quello che mi è venuto in mente. (è piuttosto lungo).
2. Mi scuso per l'uso #a# e #b# invece di #x# e #y#; Ho disegnato i diagrammi di seguito prima di verificare quali variabili sono state utilizzate nella richiesta.

Parte 1: Spettacolo #cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#

Un triangolo XQP è stato costruito lungo l'ipotenusa del triangolo XYQ con angolo #a# sopra l'angolo #b# come nel diagramma.

Il segmento di linea XP è identificato come lunghezza dell'unità per tutte le misurazioni in questo sistema.

Un rettangolo viene costruito con la base XY estendendo la linea da Y a Q fino a raggiungere un punto Z in cui PZ è parallelo al fondo (XY) (il completamento del rettangolo stabilisce il punto W)

All'interno del triangolo XQP è chiaro che (poiché #|XP| = 1#)
#|XQ| = cos(a)#
e
#|PQ| = sin(a)#

Pertanto, nel triangolo XYQ
#|XY| = cos(b)*cos(a)# (#cos(b)# ridimensionato dal #cos(a)#)

Allo stesso modo nel triangolo QZP
#|PZ| = sin(a)*sin(b)#

Poiché WZ è parallelo a XY (per costruzione)
angolo XPW = angolo PXY = #a+b#
e
#|WP| = cos(a+b)#

Dal diagramma
#cos(a+b) + sin(a)*sin(b) = cos(a)*cos(b)#

or
#cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#

Parte 2 : Mostra che if #cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)#
poi #cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#

#cos(a-b) = cos(a + (-b))#
così possiamo sostituire per ottenere
#cos(a-b) = cos(a)*cos(-b) - sin(a)*sin(-b)#

Dal diagramma del quadrante CAST per il trig. segni (sotto) possiamo vederlo
#cos(-b) = cos(b)#
e
#sin(-b) = -sin(b)#

Pertanto, possiamo scrivere:

#cos (a - b) = (cos(a) * cos(b)) - (sin(a) * (-sin(b) ))#

or
#cos (a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)#