Come si semplifica la radice quadrata di 95?

La scomposizione in fattori primi di #95# è:

#95 = 5 * 19#

Poiché questo non contiene fattori quadrati, #sqrt(95)# è già nella forma più semplice. Non ci sono fattori che possono essere spostati al di fuori del radicale.

Come frazione continua, troviamo:

#sqrt(95) = [9;bar(1,2,1,18)] = 9+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+...))))))))#

Da qui un'efficace approssimazione razionale per #sqrt(95)# è:

#[9;1,2,1] = 9+1/(1+1/(2+1/1)) = 39/4#

Per un modo divertente per trovare approssimazioni migliori a #sqrt(95)#, considera il quadratico con zeri #39+4sqrt(95)# e #39-4sqrt(95)#:

#(x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95)) = (x-39)^2-1520#

#color(white)((x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95))) = x^2-78x+1#

Sulla base di ciò, definire una sequenza ricorsivamente mediante:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 78a_(n+1)-a_n) :}#

I primi termini di questa sequenza sono:

#0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805#

Il rapporto tra termini successivi converge rapidamente in #39+4sqrt(95)#.

Quindi troviamo:

#sqrt(95) ~~ 1/4(36996805/474396 - 39) = 1/4(18495361/474396) = 18495361/1897584#

#color(white)(sqrt(95)) ~~ 9.746794344809#