Come si trova l'area del parallelogramma con i vertici k (1,2,3), l (1,3,6), m (3,8,6) e n (3,7,3)?
La risposta è: #A=sqrt265#.
Ci sono due modi, il primo è MOLTO LUNGO e complicato, il secondo MOLTO BREVE e facile, ma dobbiamo usare il prodotto vettoriale.
Il primo:
Prima di tutto, controlliamo se la forma è davvero un parallelogramma:
#KL=sqrt((x_K-x_L)^2+(y_K-y_L)^2+(x_K-z_L)^2)=#
#=sqrt((1-1)^2+(2-3)^2+(3-6)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.
#MN=sqrt((3-3)^2+(8-7)^2+(6-3)^2)=sqrt(0+1+9)=sqrt10#.
So #KL=MN#
La direzione di #KL# è il vettore #vecv# per esempio:
#vecv=(x_K-x_L,y_K-y_L,z_K-z_L)=(0,1,3)#.
La direzione di #MN# è il vettore #vecw# per esempio:
#vecw=(x_M-x_N,y_M-y_N,z_M-z_N)=(0,1,3)#.
So #vecv# è parallelo a #vecw#.
Quindi, da allora #KL=MN# e #KL# è parallelo a #MN#, la forma è un parallelogramma.
L'area di un parallelogramma è: #A=b*h#.
Possiamo presumere che la base #b# is #KL=sqrt10#, ma trovare l'altezza è più complicato, perché è la distanza delle due linee #r#, quello contiene #K and L# e #s#, quello contiene #M and N#.
Un piano, perpendicolare a una linea, può essere scritto:
#a(x-x_P)+b(y-y_P)+c(z-z_P)=0#,
where #vecd(a,b,c)# è un vettore qualunque perpendicolare al piano e #P# è un punto preoccupante che giace sul piano.
Trovare #pi#, questo è un piano perpendicolare a #r#, possiamo presumere che #vecd=vecv# e #P=K#.
Così:
#pi: 0(x-1)+1(y-2)+3(z-3)=0rArry+3z-11=0#.
Una riga può essere scritta come sistema di tre equazioni in forma parametrica:
#x=x_P+at#
#y=y_P+bt#
#z=z_P+ct#
Dove #P# è un punto qualunque della linea e #vecd(a,b,c)# è un vettore qualunque, direzione della linea.
Trovare #s#, possiamo presumere che #P=M# e #vecd=vecw#.
So #s#:
#x=3+0t#
#y=8+1t#
#z=6+3t#
o:
#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#.
Ora, risolvendo il sistema tra #pi# e #s# possiamo trovare #Q#, piede dell'altezza condotta da #K# a #s#.
#y+3z-11=0#
#x=3#
#y=8+t#
#z=6+3t#
#8+t+3(6+3t)-11=0rArr10t=-15rArrt=-3/2#.
Quindi, per trovare il punto #Q#, è necessario mettere #t=-3/2# nell'equazione di #s#.
#x=3#
#y=8-3/2#
#z=6+3(-3/2)#
Così:
#x=3#
#y=13/2#
#z=3/2#
Ora, per trovare #h#, possiamo usare la formula della distanza di due punti, #K and Q#, appena visto prima:
#h=sqrt((1-3)^2+(2-13/2)^2+(3-3/2)^2)=sqrt(2^2+(9/2)^2+(3/2)^2)=sqrt(4+81/4+9/4)=sqrt((16+81+9)/4)=sqrt106/2#.
Infine l'area è:
#A=sqrt10sqrt106/2=sqrt1060/2=sqrt(4*265)/2=sqrt265#.
Il secondo.
Possiamo ricordare che il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore la cui lunghezza è l'area del parallelogramma che ha i due vettori come due lati.
Il vettore: #vec(KL)=(0,1,3)#,
il vettore #vec(KM)=(2,6,3)#.
E ora dobbiamo fare: #vec(KL)xxvec(KM)#
Possiamo costruire la matrice:
prima riga: #[i,j,k]#,
seconda fila #[0,1,3]#,
terza fila#[2,6,3]#.
Il determinante è il vettore: #-15veci+6vecj-2veck#e la sua lunghezza è: #sqrt(225+36+4)=sqrt265# questa è l'area richiesta.