Come trovi il volume limitato da # y = ln (x) # e le linee y = 0, x = 2 ruotano attorno all'asse y?
Risposta:
Per la soluzione con gusci cilindrici, vedi sotto.
Spiegazione:
Ecco un'immagine della regione e una fetta rappresentativa presa parallelamente all'asse di rotazione.
La sezione viene presa ad un valore di #x# e ha spessore #dx#. Quindi le nostre funzioni dovranno essere funzioni di #x#
Girando sul #y# l'asse produrrà un guscio cilindrico.
Il volume di questa shell rappresentativa è
#2pirh " thickness"#
Il raggio è mostrato come una linea nera tratteggiata nell'immagine e ha lunghezza #r = x#
L'altezza del guscio sarà eccezionale #y# valore meno il minore #y# valore. Dal momento che il minore #y# valore è #0#, noi abbiamo #h = lnx#
Come già accennato, lo spessore è #dx#
Il volume rappresentativo è
#2pixlnxdx#
#x# varia da #1# a #2#, quindi il solido ha volume
#V = int_1^2 2pixlnx dx = 2 pi int_1^2 xlnx dx#
Utilizza integrazione per parti ottenere
# = 2pi(2ln2-3/4)#
(Riscrivi la risposta a piacere.)