Dato f (x) = (e ^ -x) • sinx su [-pi, pi]. Identificare le intercettazioni xey, estremi locali e punti di flesso. Utilizzare queste informazioni per disegnare il grafico. Potete aiutarmi a trovare gli estremi locali?

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#f(x)=e^(-x)sinx#, #(-pi <= x <= pi)#

Prepariamo #y=0# per trovare l' #x#intercetta (s):

#e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Questo è al di fuori del nostro intervallo.

#sinx=0, :. x=-pi, 0, pi#

Prepariamo #x=0# per trovare l' #y#intercetta (s):

#y=e^(-0)sin0=0#

Rappresentiamo graficamente la funzione:

Come si può vedere, il #x# e #y# le intercettazioni sono verificate.

Per trovare l'estensione locale, dobbiamo prendere la prima derivata della funzione e impostarla uguale a #0#. Poiché la nostra funzione è il prodotto di altre due funzioni, utilizziamo il regola del prodotto:

#dy/dx=e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)=e^(-x)cosx-e^(-x)sinx#

#e^(-x)cosx-e^(-x)sinx=0#

#e^(-x)(cosx-sinx)=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Questo è al di fuori del nostro intervallo.

#cosx-sinx=0#

#cosx=sinx#

Dividiamo entrambe le parti per #cosx#:

#tanx=1, :. x=arctan(1), :. x=pi/4, (-3pi)/4#

Senza guardare il grafico, dovremmo condurre un primo test derivativo provando i valori di #x# a sinistra e a destra di #pi/4# e #(-3pi)/4# per determinare dove la funzione sta diminuendo e aumentando. Questo ci direbbe quale delle soluzioni extrema è un minimo locale e quale un massimo locale.

Ma il grafico ci mostra chiaramente questo #x=(-3pi)/4# è il minimo e #x=pi/4# è il massimo. Ora inseriamo ciascuno di essi nella funzione per trovare il loro #y#-coordinate:

#x=-(3pi)/4, :. y=e^(-(-(3pi)/4))sin(-(3pi)/4)=e^((3pi)/4)sin(-(3pi)/4)=10.55(-sqrt2/2)=-7.46#

#x=pi/4, :. y=e^(-pi/4)sin(pi/4)=0.46(sqrt2/2)=0.33#

Minimo locale #(-2.36, -7.46)#

Massimo locale #(0.79, 0.33)#

Per trovare i punti di flesso, dobbiamo prendere la seconda derivata della funzione e impostarla uguale a #0#:

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx+(-e^(-x)cosx)-[(e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)]#

#(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-e^(-x)cosx+e^(-x)sinx#

#(d^2y)/dx^2=cancelcolor(red)(-e^(-x)sinx)-e^(-x)cosx-e^(-x)cosxcancelcolor(red)(+e^(-x)sinx)#

#(d^2y)/dx^2=-2e^(-x)cosx#

#-2e^(-x)cosx=0#

#e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo#, Questo è al di fuori del nostro intervallo.

#cosx=0, :. x=pi/2, -pi/2#

Questi sono la #x#coordinate dei due punti di flesso. Li inseriremo nella funzione per ottenere il loro #y#-coordinate:

#x=-pi/2, :. y=e^(-(-pi/2))sin(-pi/2)=e^(pi/2)sin(-pi/2)=4.81(-1)=-4.81#

#x=pi/2, :. y=e^(-pi/2)sin(pi/2)=0.21(1)=0.21#

Punto di inflessione-1, #(-1.57,-4.81)#

Punto di inflessione-2, #(1.57,0.21)#

I due estremi e due punti di flesso sono verificati sul nostro grafico.