Dimostrare che il momento d'inerzia di un cono è # I = 3 / 10mr ^ 2 # rispetto al suo asse che continua attraverso il centro di massa? h = altezza; raggio di base = r

La massa del disco elementare è #dm=rho*pir^2dz#

La densità del cono è

#rho=M/V=M/(1/3piR^2h)#

Perciò,

#dm=M/(1/3piR^2h)pir^2dz#

#dm=(3M)/(R^2h)r^2dz#

Ma

#R/r=h/z#

#r=Rz/h#

#dm=3M/(R^2h)*(R^2)/h^2*z^2dz=3M/h^3
z^2dz#

The momento d'inerzia del disco elementare sul #z-#l'asse è

#dI=1/2dmr^2#

#dI=1/2*3M/h^3z^2*z^2R^2/h^2dz#

#dI=3/2*MR^2/h^5z^4dz#

Integrando entrambe le parti,

#I=3/2*MR^2/h^5int_0^hz^4dz#

#I=3/2*MR^2/h^5[z^5/5]_0^h#

#I=3/2*MR^2/h^5*h^5/5#

#=3/10MR^2#