Dimensione del nucleo di un’applicazione lineare
La dimensione del nucleo di un’applicazione lineare è determinata dal teorema della dimensione. Quindi, per calcolare la dimensione del nucleo ker(f) basta conoscere la dimensione dello spazio vettoriale e dell’immagine. La dimensione del nucleo dell’applicazione si trova per differenza.
Rappresentazione delle applicazioni lineari tramite matrici
Le applicazioni lineari sono funzioni tra spazi vettoriali che rispettano la struttura, cioè conservano le operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Le applicazioni lineari si rappresentano in modo efficiente attraverso le matrici.
Calcolo dell’immagine di una matrice
Per trovare la base dell’immagine, è sufficiente eliminare le colonne linearmente dipendenti dalla matrice rappresentativa associata all’applicazione lineare rispetto alle basi canoniche.
Similitudine tra matrici
Due matrici A, B di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P con la proprietà che P^(-1)AP = B. Una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale.
Calcolo del polinomio minimo
Per calcolare il polinomio minimo associato a una matrice esistono vari metodi: si può ricercare tra i divisori del polinomio caratteristico, si può determinare attraverso la forma canonica di Jordan di una matrice o, ancora, può essere calcolato dividendo il polinomio caratteristico per uno specifico polinomio.
Matrici ortogonali
Una matrice A è detta ortogonale quando la sua matrice inversa A^(-1) è uguale alla matrice trasposta A^T. L’insieme delle matrici ortogonali di ordine n è indicato con il simbolo Oₙ. Soltanto le matrici invertibili possono essere ortogonali.