Endomorfismo
In matematica, l’omomorfismo di un’algebra (nel senso astratto di insieme con operazioni) con sé stessa o con una sua sottoalgebra. In particolare, se l’omomorfismo è un isomorfismo, cioè una corrispondenza biunivoca conservante le operazioni, si hanno gli automorfismi dell’algebra. Come capire se è un endomorfismo?
Un endomorfismo è un’applicazione lineare in cui lo spazio di partenza coincide con lo spazio d’arrivo. non è lineare, dunque non è un endomorfismo! Per giungere a questa conclusione basta ricordare che una delle proprietà di un’applicazione lineare è che manda lo zero nello zero.
Autovalori e Base di Autovettori
Anche la domanda è:, quando un autovalore è semplice? ha una sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico, detta molteplicità algebrica. Un autovalore con molteplicità algebrica 1 si dice semplice. Di conseguenza,, quando esiste una base di autovettori?
Se la matrice associata a un endomorfismo è diagonale allora esiste una base composta da soli autovettori. Se una matrice quadrata A di ordine n è simile ad una matrice diagonale allora esiste una base di autovettori per LA se e solo se la classe di similitudine OA contiene una matrice diagonale.
Similarità e Diagonalizzabilità
Come capire se due matrici sono simili? Due matrici A, B di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P con la proprietà che P−1AP = B. Con questa terminologia dunque una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale. Quando un endomorfismo si dice diagonalizzabile?
Un endomorfismo diagonalizzabile, detto anche endomorfismo semplice, è un operatore lineare per cui è possibile determinare una base dello spazio su cui è definito tale che la matrice rappresentativa dell’endomorfismo rispetto ad essa sia una matrice diagonale. Quanti autovalori ha una matrice Diagonalizzabile?
- se sono 3 autovalori distinti, allora è sicuramente diagonalizzabile;
- se sono 3 ma non distinti, cioè con una molteplicità algebrica maggiore di uno, allora bisogna verificare che la molteplicità geometrica sia uguale alla dimensione?