Coniche
Se la sezione è costituita da due rette incidenti (due generatrici distinte del cono), la conica è detta semplicemente degenere (fig. 4.5). Se il piano è tangente al cono, la sezione è costituita da due rette coincidenti e la conica è detta doppiamente degenere (fig. 4.6).
Parabola
Come si fa a capire se è una parabola?
L’equazione y = ax2 + bx + c è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, con b = 0 negativo (con il meno davanti) e quando non è presente nell’equazione si pone c = 0.
Ellisse immaginaria
L’ellisse immaginaria è rappresentata da un’equazione che non ammette soluzioni reali, ma solo soluzioni immaginarie. Ad esempio, l’equazione x2 − y2 = 0 rappresenta la coppia di rette x − y = 0 e x + y = 0.
4 Coniche
Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l’intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l’equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano.
Vuoto in una Conica
La conica può rappresentare il vuoto, due rette parallele oppure una retta doppia; in particolare se λ1γ − α2 > 0 abbiamo il vuoto, se è negativo abbiamo due rette parallele, mentre se è zero abbiamo una retta doppia e quindi la conica è unione delle due rette x + y = 0 e 2x − y + 1 = 0.
Iperbole
Come si capisce se si tratta di un’iperbole?
Se Δ = 0, la conica è una parabola. Se Δ > 0, la conica è un’iperbole. Inoltre, se A + C = 0, l’iperbole è equilatera. Per quanto riguarda la circonferenza, se A = C e B = 0, la conica è una circonferenza.
Punto sull’Iperbole
Come capire se un punto appartiene all’iperbole?
Si osserva che se un punto P(x; y) appartiene all’iperbole di equazione (IV) allora anche i punti di coordinate (-x; y), (x; -y) e (-x; -y) appartengono a tale curva; questo vuol dire che la curva è simmetrica rispetto all’asse x, all’asse y e all’origine.