Le operazioni di riga elementare cambiano gli autovalori?

Sì. Per una data matrice #hatA#, operazioni su file elementari NON conservare gli autovalori di #hatA#.

Ad esempio, prendi la seguente matrice:

#color(green)(hatA = [(2,2),(0,1)])#

The autovalori sono determinati risolvendo

#mathbf(hatAvecv = lambdavecv),#

così #|lambdaI - hatA| = 0#. Quindi, gli autovettori #vecv# formare una base acquisita dalla risoluzione #[lambdaI - hatA]vecv = vec0# for #vecv#.

#|lambdaI - hatA| = 0#

#= |[(lambda,0),(0,lambda)] - [(2,2),(0,1)]|#

#= |(lambda - 2, -2),(0,lambda - 1)|#

#= (lambda-2)(lambda-1) - 0#

Da questo acquisiamo il equazione caratteristica:

#=> color(green)((lambda - 2)(lambda - 1) = 0),#

E otteniamo gli autovalori

# => color(blue)(lambda = 1, 2),#

di chi autovettori siamo...

#mathbf(lambda = 1)#:

#[(lambda - 2, - 2),(0,lambda - 1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#= [(-1,-2),(0,0)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#-> v_1 = -2v_2 -> color(blue)(vecv = v_1[(1),(-2)])#

#mathbf(lambda = 2)#:

#[(lambda - 2, - 2),(0,lambda - 1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#= [(0,-2),(0,1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#-> v_2 = 0, v_1 = "anything"#,:. permettere #v_1 = 9000#. Poi, #color(blue)(vecv = v_1[(9000),(0)])#

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Certo, ti sei ridotto di fila #hatA#, avresti ottenuto:

#hatA = [(2,2),(0,1)]#

#stackrel(1/2R_1; -R_2+R_1" ")(->)[(1,0),(0,1)],#

where the notation #cR_i + R_j# implies that #c# times row #i# is added to row #j# and the result is stored into row #j#.

Ciò ti darebbe l'equazione caratteristica #|lambdaI - hatA| = (lambda - 1)^2 = 0#, e quindi ti dà un autovalore #lambda = 1# di molteplicità #2#.

Tuttavia, senza riduzione di riga, avevamo ottenuto due autovalori distinti: #lambda = 1,2#. Quindi, gli autovalori erano non mantenuto a seguito di operazioni di riga elementare.