Nel triangolo 30-60-90, dove la lunghezza della gamba lunga è 9, qual è la lunghezza dell'ipotenusa e della gamba corta?
Risposta:
Dal momento che è un triangolo 30-60-90, l'ipotenusa dovrebbe essere #6sqrt(3)# e la gamba corta è #3sqrt(3)#
Spiegazione:
In un triangolo 30-60-90, i lati possono essere descritti come tali:
Lato corto: #1#
Ipotenusa: #2#
Lato lungo: #sqrt(3)#
Questi possono essere considerati rapporti. Se lo guardi in termini di seno e coseno, questo diventa un po 'più chiaro, poiché seno e coseno ti danno il rapporto dei lati:
#cos(60)="short"/"hyp"=1/2 rArr "short"=1, "hyp"=2#
#sin(60)="long"/"hyp"=sqrt(3)/2 rArr "long"=sqrt(3), "hyp"=2#
#tan(60)="long"/"short"=sqrt(3) rArr "long"=sqrt(3), "short"=1#
poiché conosciamo i rapporti, possiamo moltiplicarli per una costante, #x#
#"short"=1x=x#
#"hyp"=2x#
#"long"=sqrt(3)x=9#
Ora che abbiamo un'equazione che descrive la lunghezza della gamba lunga in termini di rapporti laterali, possiamo risolvere #x#e risolvere rapidamente per il lato corto e l'ipotenusa:
#sqrt(3)x=9 rArr x=9/sqrt(3)=3*sqrt(3)^2/sqrt(3)#
#color(red)(x=3sqrt(3))#
#color(blue)("short"=x=3sqrt(3))#
#color(green)("hyp"=2x=6sqrt(3))#