Per la funzione d'onda # 2s # dell'idrogeno atomico data da #psi = 1 / (2sqrt (2pi)) sqrt (1 / a_0) (2 - r / a_0) e ^ (- r // 2a_0) #, a quale distanza radiale lontano dal nucleo non è possibile trovare elettroni?

La chiave di questo problema sta in ciò che caratterizza a nodo radiale.

Fondamentalmente, la Funzione d'onda, #Psi(x)#, è semplicemente una funzione matematica utilizzata per descrivere un oggetto quantistico.

La funzione d'onda che descrive un elettrone in un atomo è in realtà un prodotto tra funzione d'onda radiale, che è di interesse nel tuo caso e funzione d'onda angolare.

The funzione d'onda radiale dipende solo dal distanza dal nucleo, #r#.

Ora, un nodo si verifica quando una funzione d'onda cambia segni, cioè quando passa attraverso zero. UN nodo radiale si verifica quando a funzione d'onda radiale passa attraverso zero.

La cosa importante da ricordare sui nodi è che un elettrone ha probabilità zero di trovarsi in un nodo. La probabilità che un elettrone si trovi in ​​un determinato punto è data dal quadrato del valore assoluto della funzione d'onda, #|Psi(x)|^2#.

Dato che hai zero probabilità di localizzare un elettrone in un nodo, puoi dire di averlo

#color(blue)(|Psi(x)|^2 = 0) -># this is true at nodes

Quindi, ti viene data la funzione d'onda di a 2s-orbitali

#Psi_(2s) = 1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0) * (2 - r/a_0) * e^(-r/(2a_0))#

e lo disse a #r = r_0#, un nodo radiale è formato. Fin dall'inizio, questo ti dice che hai

#|Psi_(2s)|^2 = 0#

Ora dai nuovamente un'occhiata alla funzione d'onda. L'unico modo per ottenere il quadrato del suo valore assoluto uguale a zero è se lo hai

#(2 - r/a_0) = 0#

da

#Psi_(2s) = overbrace(1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0))^(color(purple)(>0)) * (2 - r/a_0) * overbrace(e^(-r/(2a_0)))^(color(purple)(>0))#

Questo significa che hai

#2 - r/a_0 = 0 implies r = 2 * a_0#

At #r = r_0#, Si avrà

#color(green)(r_0 = 2 * a_0)#

Ecco come appare la funzione d'onda per l'orbitale 2s

Un orbitale 2s è caratterizzato dal fatto che non ha proprietà direzionali: ottieni lo stesso valore esatto per la sua funzione d'onda senza riguardo del valore di #r#.

Questo è il motivo per cui l'orbitale 2s è di forma sferica.

Inoltre, questo ti dice che la funzione d'onda cambia segno alla stessa distanza dal nucleo in tutte le direzioni, motivo per cui a superficie nodale è formato.

La funzione d'onda di un orbitale 2s cambia segno una volta, quindi hai solo una superficie nodale qui.