Se x²=y², allora è necessariamente x=y?

[math] \displaystyle \text{In generale, la nozione di \tag*{} [/math]

[math] \displaystyle f(x) = f(y) \tag*{} [/math]

[math] \displaystyle \text{non implica} \tag*{} [/math]

[math] \displaystyle x = y \tag*{} [/math]

In effetti, ogni volta che [math] f(x) [/math] è una funzione pari sui numeri reali, vedrai che scegliendo [math] y = -x ≠ 0 [/math] si ottiene la condizione [math] f(y) = f(-x) = f(x) [/math] ma chiaramente [math] 0 ≠ -x ⇒︎ x ≠ -x [/math]

Questo non è l'unico caso in cui fallisce, infatti l'assunzione di [math] f(x) = f(y) ⇒︎ x = y [/math] funziona solo per funzioni iniettive, questa è la definizione di essere iniettiva, ma se si trova una singola coppia di elementi nel dominio che non sono uguali, diciamo [math] a ≠ b [/math] ma si ha [math] f(a) = f(b) [/math] allora l'intera assunzione fallisce. È solo immediatamente ovvio per le funzioni pari, perché a meno che tu non abbia un dominio che non include mai [math] -x [/math] se include [math] x [/math] (oltre a [math] 0 [/math]) fallisci, e [math] f(x) = x^2 [/math] è pari.

Assumiamo che [math] n [/math] sia un intero

[math] \displaystyle \text{sin}x = \text{sin}(x+2πn) \tag*{} [/math]

ma a meno che [math] n = 0 [/math]

[math] \displaystyle x ≠ x+2πn \tag*{} [/math]

A meno che [math] x > y ⇒︎ f(x) > f(y) [/math] o [math] x > y ⇒︎ f(y) > f(x) [/math] la tua funzione non sarà una funzione iniettiva da un insieme ordinato a un insieme ordinato.