Le funzioni discontinue hanno area sotto di loro, nonostante non siano integrabili? Perché (o perché no)?

Le funzioni discontinue possono essere integrabili, anche se non tutte lo sono. In particolare, per l'integrazione di Riemann (la nostra normale nozione di base di integrali) una funzione deve essere delimitata e definita ovunque sull'intervallo di integrazione e l'insieme delle discontinuità su tale intervallo deve avere misura di Lebesgue zero. Gli insiemi di punti con misura di Lebesgue zero includono molti punti finiti, molti punti infiniti e alcuni insiemi non numerabili hanno anch'essi misura di Lebesgue zero, ma altri no. Chiamiamo funzioni le cui discontinuità hanno misura di Lebesgue zero piecewise continuous.

Intuitivamente, possiamo mettere in relazione l'integrabilità delle funzioni piecewise continuous con l'area sotto la curva immaginando che ogni discontinuità sia "riempita" con una linea verticale che collega il valore che la funzione ha subito prima della discontinuità al valore che ha subito dopo la discontinuità.

Possiamo analogamente vedere intuitivamente che le funzioni che non sono continue da nessuna parte almeno in alcuni sotto intervalli dell'intervallo di integrazione non possono avere un'area misurabile sotto di esse, perché diventa impossibile determinare quali parti dello spazio sono "sotto" la curva in tali sotto intervalli. Si noti, tuttavia, che essi possono ancora avere una certa area sotto di loro. Consideriamo, per esempio, una funzione [math]f(x)[/math] definita in modo tale che [math]f(x) = 2[/math] quando [math]x[/math] è razionale e [math]f(x) = 1[/math] quando [math]x[/math] è irrazionale. Questa funzione non può essere integrata. Tuttavia, se consideriamo [math]f(x)[/math] tra [math]x = 0[/math] e [math]x = 1[/math], sembra chiaro che l'intera area del quadrato unitario [math][0,1] \times [0,1][/math] si trova "sotto" la curva. Quindi le funzioni che non sono integrabili possono ancora avere un'area sotto di loro - solo che non è possibile determinare esattamente quanta.