Gufosaggio
Qual è il numero di soluzioni di e1+e2+e3=13 dove e1, e2, ed e3 sono numeri interi non negativi tali che 3=
Per una soluzione generale a questo tipo di problema: Questa domanda è equivalente alla domanda "qual è il coefficiente di [math]x^{13}[/math] nel polinomio [math]f(x) = (x^3+x^4+x^5)(x^4+x^5+x^6)(x^5+x^6+x^7)[/math]
In questo caso, è semplice ottenere il risultato per ispezione. Gli unici modi per ottenere [math]x^{13}[/math] sono [math]x^3 ^4 ^4 ^6, x^3 ^5 ^5, x^4 ^4 ^4 ^5[/math] - quindi la risposta è 3. In situazioni più complicate, riscriveremmo il prodotto come:
[math]\displaystyle f(x) = \sinistra(\frac{x^6-x^3}{x-1}destra)\sinistra(\frac{x^7-x^4}{x-1}destra)\frac{x^8-x^5}{x-1}destra)[/math]
[math]\displaystyle f(x) = \frac{x^{12}(1-x^3)^3}{(1-x)^3} = x^{12}(1+x+x^2)^3[/math]
E chiaramente il coefficiente di [math]x[/math] in [math](1+x+x^2)^3[/math] è 3.
Potremmo anche espandere
[math]\displaystyle (1-x)^{-3} = \sum_{i=0}^{infty} \binom{i+2}{2} x^i[/math]
E ampliare:
[math]\displaystyle (1-x^3)^{3} = 1-3x^3+3x^6-x^9[/math]
per esprimere quanto sopra come:
[math]\displaystyle f(x) = \left(x^{12}-3x^{15}+3x^{18}-x^{21}\right) \left(\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i+2}{2} x^i \right)[/math]
Da questo si può trovare il numero di combinazioni per qualsiasi numero - per esempio, possiamo vedere che poiché generiamo [math]x^{15}[/math] moltiplicando [math]x^{12}[/math] per [math]x^3[/math], e [math]x^{15}[/math] per 11, la somma 15 può essere fatta in 7 modi:
[math]\displaystyle \binom{3+2}{2}-3\binom{0+2}{2} = 10-3=7[/math]
E' chiaramente eccessivo per questo esempio, ma puoi immaginare che se stessi cercando il numero di combinazioni possibili di un numero più grande, con una gamma più ampia di opzioni, questa tecnica sarebbe molto utile!
Per questo specifico esempio, il modo più semplice per trovare la soluzione è sostituire [math]a_1=e_1-3, a_2=e_2-4, a_3=e_3-5[/math] allora stiamo cercando soluzioni intere positive a [math]a_1+a_2+a_3 =1[/math] - e chiaramente ci sono solo 3 possibilità [math](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/math]
Per una soluzione generale a questo tipo di problema: Questa domanda è equivalente alla domanda "qual è il coefficiente di [math]x^{13}[/math] nel polinomio [math]f(x) = (x^3+x^4+x^5)(x^4+x^5+x^6)(x^5+x^6+x^7)[/math]
In questo caso, è semplice ottenere il risultato per ispezione. Gli unici modi per ottenere [math]x^{13}[/math] sono [math]x^3 ^4 ^4 ^6, x^3 ^5 ^5, x^4 ^4 ^4 ^5[/math] - quindi la risposta è 3. In situazioni più complicate, riscriveremmo il prodotto come:
[math]\displaystyle f(x) = \sinistra(\frac{x^6-x^3}{x-1}destra)\sinistra(\frac{x^7-x^4}{x-1}destra)\frac{x^8-x^5}{x-1}destra)[/math]
[math]\displaystyle f(x) = \frac{x^{12}(1-x^3)^3}{(1-x)^3} = x^{12}(1+x+x^2)^3[/math]
E chiaramente il coefficiente di [math]x[/math] in [math](1+x+x^2)^3[/math] è 3.
Potremmo anche espandere
[math]\displaystyle (1-x)^{-3} = \sum_{i=0}^{infty} \binom{i+2}{2} x^i[/math]
E ampliare:
[math]\displaystyle (1-x^3)^{3} = 1-3x^3+3x^6-x^9[/math]
per esprimere quanto sopra come:
[math]\displaystyle f(x) = \left(x^{12}-3x^{15}+3x^{18}-x^{21}\right) \left(\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i+2}{2} x^i \right)[/math]
Da questo si può trovare il numero di combinazioni per qualsiasi numero - per esempio, possiamo vedere che poiché generiamo [math]x^{15}[/math] moltiplicando [math]x^{12}[/math] per [math]x^3[/math], e [math]x^{15}[/math] per 11, la somma 15 può essere fatta in 7 modi:
[math]\displaystyle \binom{3+2}{2}-3\binom{0+2}{2} = 10-3=7[/math]
E' chiaramente eccessivo per questo esempio, ma puoi immaginare che se stessi cercando il numero di combinazioni possibili di un numero più grande, con una gamma più ampia di opzioni, questa tecnica sarebbe molto utile!
Per questo specifico esempio, il modo più semplice per trovare la soluzione è sostituire [math]a_1=e_1-3, a_2=e_2-4, a_3=e_3-5[/math] allora stiamo cercando soluzioni intere positive a [math]a_1+a_2+a_3 =1[/math] - e chiaramente ci sono solo 3 possibilità [math](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/math]
