Qual è il fattoriale più alto che possiamo calcolare? E perché l'assistente vocale di Google smette di calcolare sopra 170,629?

Qual è il fattoriale più alto che possiamo calcolare? E perché l'assistente vocale di Google smette di calcolare oltre 170,629?

Avendo abbastanza tempo e memoria, possiamo calcolare qualsiasi fattoriale che vogliamo.

Tuttavia...

I fattoriali crescono rapidamente. [math]170![/math] ha più di 300 cifre. L'assistente vocale di Google calcola grandi fattoriali come quello usando "numeri doppi in virgola mobile", che possono rappresentare solo numeri fino a circa [math]2^{1023}[/math] (e anche allora con perdita di precisione). Poiché [math]170! < 2^{1023} < 171![/math], l'assistente vocale di Google non può rappresentare numeri così grandi come [math]171![/math]. Anche allora, non li rappresenta esattamente. Non può darvi tutte le 306 cifre.

Wolfram Alpha, tuttavia, può. Se vai a 171! - Wolfram|Alpha, Wolfram Alpha ti darà tutte le 310 cifre di [math]171![/math]. Vai a 500! - Wolfram|Alpha e otterrete (dopo aver premuto un pulsante etichettato "più cifre" alcune volte) tutte le cifre di quello. Sono stato anche in grado di convincere Wolfram Alpha a darmi tutte le 16326 cifre di [math]5000![/math]. Non so quanto in alto possa andare Wolfram Alpha; anche [math]5000![/math] ha messo alla prova la mia pazienza. Ho appena chiesto al mio portatile di calcolare e stampare [math]20000![/math], e l'ha fatto in forse 15 secondi.

In parole povere, il numero di cifre in [math]n![/math] è [math]n\log_{10}\frac{n}{e}[/math]. Una moderna macchina desktop, con 4 GB di memoria, se dedicata al compito, può (lentamente) manipolare numeri con 4 miliardi di cifre, numeri nel range di circa [math]480000000![/math]. Tecniche più sofisticate, e più memoria/spazio di archiviazione, permetterebbero ai computer di andare molto più in alto.

L'assistente vocale di Google ha calcolato [math]170.629![/math] - che, tecnicamente, è indefinito - perché ha usato una funzione correlata [math]\Gamma(x)[/math], che è definita per tutti i numeri complessi diversi dagli interi negativi. Ha la proprietà che [math]\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)[/math] per tutti i [math]x[/math], e [math]\Gamma(n+1) = n![/math] per i numeri interi positivi [math]n[/math]. Quando hai chiesto [math]170.629![/math], ti ha dato il risultato di [math]\Gamma(171.629)[/math] invece.