Quali sono i valori di x che soddisfano |x-2| +|x-3|=1?

Metodo-1

Come potete vedere la difficoltà sorge a causa dei termini |x-2| e |x-3|. Quindi, la risolveremo semplificando il nostro problema e scomponendolo per vari casi di x. Anche se questo particolare problema ha una soluzione facile ma ti mostro il metodo che puoi applicare anche quando ci sono disuguaglianze al posto dei segni uguali o anche se ci sono più di due termini del modulo

[math]\mathbb{R}=(-\infty,2)\cup(2,3)\cup (3,\infty)\cup \text{{2,3}[/math]

Da qui abbiamo-

[math]\star\underline{{Case-1}} \x\x\x22(-\infty,2)[/math]

[math]\testo{Quindi in questo intervallo |x-2|<0 e |x-3|<0}[/math]

[math]\testo{Quindi l'equazione diventa-}[/math]

[math]\implica -(x-2)-(x-3)=1[/math]

[math]\implica -x+2-x+3=1[/math]

[math]\implica -2x=-4[/math]

[math]\implica x=2\:\text{which is not possible as x<2}[/math]

[math]\text{Hence no possible solution from this interval}[/math]

[math]\star\underline{\text{Case-2}}\\x\in(2,3)[/math]

[math]\text{Hence in this interval |x-2|>0 and |x-3|<0}[/math]

[math]\text{Thus the equation becomes-}[/math]

[math]\implies (x-2)-(x-3)=1[/math]

[math]\implies x-2-x+3=1[/math]

[math]\implies 1=1\:\text{which is true}[/math]

[math]\text{Hence every x belonging to this interval is a solution}[/math]

[math]\star\underline{\text{Case-3}}\\x\in(3,\infty)[/math]

[math]\text{Hence in this interval |x-2|>0 and |x-3|>0}[/math]

[math]\text{Thus the equation becomes-}[/math]

[math]\implies (x-2)+(x-3)=1[/math]

[math]\implies x-2+x-3=1[/math]

[math]\implies 2x=6[/math]

[math]\implies x=3\:\testo che non è possibile in quanto x>3}[/math]

[math]\testo{quindi nessuna soluzione possibile da questo intervallo}[/math]

[math]\star\sottotitolo{caso-4}}{2,3}[/math]

[math]\testo]

Lascia che prima x=2, poi |x-2|=0 e|x-3|=|2-3|=1}[/math]

[math]\testo{Quindi l'equazione diventa- {\testo implica 0+1=0 \:

[math]\testo{ che è vero}[/math]

[math]\testo{ quindi una possibile soluzione è x=2}[/math]

[math]\testo{ ora sia x=3, allora x-2|=|3-2|=1 e|x-3|=0}[/math]

[math]\testo{Quindi l'equazione diventa-}[/math]

[math]\implica 1+0=0 \:\testo{che è vero}[/math]

[math]\testo{Quindi una possibile soluzione è x=3}[/math]

Quindi, combinando i 3 casi vediamo che le possibili soluzioni sono [math]x\in [2,3][/math]

Metodo-2

Un altro modo di risolvere questo particolare problema è il metodo grafico:

[math]|x-2|+|x-3|=1 \ implica |x-2|=1-|x-3| \ implica |x-2|=(-|x-3|)+1[/math]

Fondamentalmente, abbiamo bisogno di trovare quei valori di x che soddisfano entrambi i lati, cioè i valori x di quei punti che si sovrappongono in entrambi i grafici. Quindi l'intervallo di soluzione è [2,3]