Qual è la soluzione generale dell'equazione differenziale [math](2x+x^2y^3)dx+(x^3y^2+4y^3)dy=0[/math]?

Ok, quindi stiamo cercando di risolvere

[math](2x+x^2y^3)dx+(x^3y^2+4y^3)dy=0[/math]

Questa è un'equazione esatta. Ciò significa che, per un'equazione differenziale della forma [math]P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0[/math], esiste una funzione, [math]\phi(x,y)[/math] tale che [math]\frac{\partial\phi}{\partial x}=P(x,y)[/math] e [math]\frac{\partial\phi}=Q(x,y)[/math]. In termini semplici, ciascuna delle funzioni che sono coefficienti di [math]dx[/math] e [math]dy[/math] sono semplicemente le derivate parziali di [math]\frac(x,y)[/math].

Solo per mantenere le cose generali, guardiamo la forma generale di un'equazione esatta per vedere se possiamo trovare una soluzione. Se semplicemente dividiamo per [math]dx[/math], la nostra equazione appare così:

[math]\dfrac{\partial\phi}{\partial x}+\dfrac{\partial\phi}{\partial y}{dfrac{dy}{dx}=0[/math]

Questo assomiglia molto alla regola della catena per funzioni di due variabili, quindi da questo possiamo dedurre che il lato sinistro dell'equazione differenziale si riduce a

[math]\dfrac{d}{dx}\phi(x,y) = 0[/math]

Che è uguale a zero, naturalmente.

Se la derivata di [math]\phi(x,y) = 0[/math], allora [math]\phi(x,y)[/math] deve essere una costante. Poiché la nostra equazione è solo una funzione di due variabili, e non contiene ora alcuna derivata, questo deve significare che la soluzione implicita dell'equazione differenziale è [math]\phi(x,y) = C[/math], dove [math]C[/math] è una costante arbitraria. Piuttosto figo!

Riassumiamo. Abbiamo ridotto la nostra equazione differenziale alla derivata (rispetto a [math]x[/math]) di quella funzione [math]\phi(x,y)[/math], (che è essenzialmente solo un'equazione differenziale estremamente semplice) e poiché è uguale a zero, [math]\phi(x,y)[/math] deve essere una costante, e quindi abbiamo la nostra soluzione generale implicita. Stiamo cercando di trovare [math]\phi(x,y)[/math], e possiamo farlo integrando o [math]P(x,y)[/math] o [math]Q(x,y)[/math]. Facciamolo prima con [math]P[/math].

[math]\pphi = \displaystyle \int{(2x+x^2y^3) \dx} = x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + C(y)[/math]

Nota che la nostra costante di integrazione è in realtà una funzione di [math]y[/math], la variabile che abbiamo trattato come una costante quando abbiamo integrato. Per trovare [math]C(y)[/math], possiamo differenziare [math]\phi(x,y)[/math] rispetto a [math]y[/math] e metterlo uguale a [math]Q(x,y)[/math]:

[math]\dfrac{d}{dy}\phi(x,y) = x^3y^2 + C'(y) = x^3y^2+4y^3[/math]

[math]\implica C'(y) = 4y^3[/math]

[math]\implica C(y) = y^4[/math].

Quindi, ora abbiamo la nostra espressione per [math]\phi[/math]:

[math]\phi(x,y) = x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + y^4[/math]

Quindi, la nostra soluzione generale implicita a questa equazione è:

[math]\boxed{x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + y^4 = C}[/math], dove [math]C[/math] è una costante arbitraria.

Modifica: Ho guardato alcune delle tue altre domande e sembra che tu abbia fatto molte domande simili, forse problemi di compiti? Comunque, spero che tu usi questa risposta a tuo vantaggio, e ti consiglio di dare un'occhiata a questo, mi è servito come aggiornamento sulle equazioni esatte. Fare i problemi da soli è l'unico modo per imparare, e ci sono alcuni piccoli pezzi di intuizione e rigore che mancano nella mia risposta, quindi raccomando di cercare di colmare queste lacune per ottenere una migliore comprensione delle equazioni esatte.