A cosa equivale la somma infinita di '1+4/7+9/7^2+16/7^3+'?

Questo è un semplice esempio di una serie chiamata progressione aritmetico-geometrica.

Lascia che la somma che devi trovare sia S.

[math]S = 1 + 4/7 + 9/7^2 + 16/7^3+..[/math] (eqn 1)

Moltiplicare S per il rapporto comune (in questo caso [math] 1/7[/math] )

Quindi, otteniamo,

S[math]1/7 = 1/7+4/7^2+9/7^3+...[/math] (equazione 2)

Sottraiamo l'equazione 2 dalla 1,

[math]S = 1 + 4/7 + 9/7^2 + 16/7^3+..[/math]
[math]-(1/7)S = -1/7 - 4/7^2 - 9/7^3 - .. [/math]

[math] S( 1- 1/7) = 1 + (4-1)/7 + (9-4)/7^2 + (16-9)/7^3 + ...[/math]

[math] S(6/7) = 1 + 3/7 + 5/7^2 + 7/7^3 + ...[/math]

Ora vediamo che i numeratori sul lato destro formano una progressione aritmetica. Per risolvere questo tipo di problema, moltiplica di nuovo entrambi i lati per il rapporto comune ([math] 1/7[/math]) e sottrai.

[math]S(6/7)(1 - 1/7) = 1 + (3-1)/7 + (5-3)/7^2 + (7-5)/7^3 + ..[/math]

[math] S (36/49) = 1 + 2 [ 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + ...] [/math]

The terms in the bracket form a simple infinite geometric progression.

(Refer Geometric progression if you are unaware of the formula)

[math] S(36/49) = 1 + 2[ (1/7) / (1 - 1/7) ][/math]

[math] S(36/49) = 4/3[/math]

[math]S = 49/27[/math]

Hope this helps.

Please correct me if there is some mistake.