Qual è la velocità massima che può raggiungere un razzo chimico?

Tutti i razzi che trasportano il proprio carburante hanno una velocità che è governata dall'equazione di Tsiolkovsky per i razzi, che normalmente assomiglia a:

[math]\Delta v = I_{sp} \ln\left(\frac{m_0}{m_1} \right)[/math]

dove [math]\Delta v[/math] è la variazione di velocità indotta dopo aver bruciato il carburante con un impulso specifico [math]I_{sp}[/math], che riduce la massa del razzo da [math]m_0[/math] a [math]m_1[/math]

Comunque.

Siccome stiamo andando alla massima velocità, useremo la versione relativistica - nel caso ci avvicinassimo alla velocità della luce!

[math]Delta V _{relativistic} = c \tanh \ln\left( \frac{I_{sp}{c} \ln\left(\frac{m_0}{m_1} \destra) \destra)[/math]

(Possiamo vedere che se i bit all'interno del [math]\tanh[/math] sono sufficientemente piccoli, allora otteniamo la prima equazione)

Ok.

Bene, ora abbiamo bisogno di qualche numero da inserire!

Un razzo chimico ha un massimo [math]I_{sp}[/math] di circa [math]5000 ms^{-1}[/math], secondo un grafico su questa pagina.

Dobbiamo anche sapere quanto è grande la cosa che stiamo accelerando.

Per fare un esempio, diciamo che vogliamo lanciare il modulo lunare delle missioni Apollo - che aveva una massa di [math]15,000kg[/math]

Quindi, la massima velocità raggiungibile (relativa ad un osservatore a riposo a [math]t=0[/math]) è:

[math]\boxed{v_{max} = 299792458 \tanh \left( \frac{5000}{299792458}

Che significa, fondamentalmente, che sei limitato dalla massa di carburante che sei disposto a dare al tuo razzo.

Se ti dai parti uguali di carburante per carico (cioè [math]m_{fuel} = 15.000kg[/math]), allora la velocità massima che puoi raggiungere è:

[math]v_{fuel = payload} = 3465.7 ms^{-1}[/math]

Hmm. Non è particolarmente veloce, nel grande schema delle cose.

ADD MORE FUEL!

Diamo a noi stessi 10 volte più carburante che carico utile - [math]m_{fuel} - 150.000kg[/math]

[math]v_{10\times} = 11989,5 ms^{-1}[/math]

OK! E' circa la velocità di fuga!

Ma.... abbiamo moltiplicato il nostro carburante per 10, e la nostra velocità è aumentata solo di un fattore o 3....

Questo tema continua - aggiungere più carburante aumenta la velocità massima, ma sempre meno ogni volta.

Se abbiamo 10.000 volte più carburante che carico utile, allora otteniamo solo:

[math]v_{10.000 \times} = 46.052 ms^{-1}[/math] - solo 4 volte più veloce di [math]10\times[/math]!

ADD MORE FUEL

Andiamo oltre.

Quanto carburante c'è sul nostro pianeta?

Da quello che posso trovare, abbiamo circa [math]182 volte 10^{12}kg[/math] di riserve di petrolio - in base alle stime del volume delle riserve di petrolio, moltiplicato per la densità.

Utilizziamo tutto questo come carburante.

This gives:

[math]v_{all~oil~on~Earth} = 116,096 ms^{-1}[/math]

Hmm.

That’s still only 0.038% the speed of light.

ADD MORE FUEL

Let’s use the entire mass of the planet as fuel! [math]m_{fuel} = 6 \times 10^{24}kg[/math]

[math]v_{Earth} = 237,122 ms^{-1}[/math]

Goddammit! Still less than 1% the speed of light - and we used the entire mass of our planet!

ADD MORE FUEL

Chuck the entire solar system into the fuel tank! [math]m_{system} \approx m_{sun} = 2 \times 10^{30}[/math]

[math]v_{sun} = 300,774 ms^{-1}[/math]

Aha!

Using the entire solar system as chemical fuel, we can breach 0.1% the speed of light!

Wait? Still not satisfied?

Ugh - ok, one more time.

ADD MORE FUEL

Our universe has a mass of approximately [math]10^{53}kg[/math]

[math]v_{entire~universe} = 562,105 ms^{-1}[/math]

[math]~~~[/math]

[math]~~~[/math]

[math]~~~~[/math]

Yeah.

Ci siamo.

[math]~0,2 \%[/math] la velocità della luce.

Per il piccolo lander lunare.

Utilizzando l'intera massa dell'universo come carburante.

È stato davvero un po' estremo usare la versione relativistica delle equazioni! Non abbiamo mai nemmeno toccato le velocità relativistiche!

La lezione qui è che i razzi chimici sono terribili.

I loro rapporti [math]I_{sp}/c[/math] sono semplicemente terribili - una frazione di una frazione di percentuale.

Se si confronta questo con qualcosa come un motore a fusione nucleare - che ha [math]I_{sp}/c = 0.119[/math], o anche una reazione di annichilazione dell'antimateria, che ha [math]I_{sp}/c = 1[/math], allora è possibile raggiungere velocità relativistiche in modo relativamente rapido - e senza utilizzare interi pianeti di massa!

Un altro workaround è quello di non portare tutto il carburante con sé - l'iniziativa Starshot propone di utilizzare i laser sulla Terra per accelerare le mini-sonde - il che significa che le sonde stesse non hanno bisogno di alcun motore. Oppure il proposto ramjet Bussard, che raccoglie il carburante dal mezzo interstellare - quindi non tutto il carburante viene trattenuto all'inizio. Questi metodi "truffaldini" hanno parametri diversi, e quindi non sono legati a questa equazione.