Quanto puoi vedere in mare aperto?

Se non sei in piedi su niente (diciamo 2 metri di altezza), puoi vedere circa 5 km.
Se sei in piedi sulla coffa della tua nave (30m), puoi vedere circa 20 km.
Se ti trovi sulla cima di un grattacielo (300m), puoi vedere circa 60 km.
Se ti trovi sulla cima dell'Everest, o su un aereo (9000m), puoi vedere circa 340 km.

In generale, se sei in piedi a [math]x[/math] metri di altezza, e [math]x[/math] è molto più piccolo del raggio della Terra, puoi vedere circa [math]\sqrt{2Rx}[/math] metri.

Per calcolare questo, facciamo un semplice diagramma:

(ovviamente non è in scala)

Lasciamo che [math]R[/math] sia il raggio della Terra, e [math]x[/math] la vostra altezza. La linea rossa più in alto è la vostra linea di vista, e la distanza tra i vostri occhi e il punto in cui interseca la terra è la distanza dall'orizzonte. Un lato del triangolo ha lunghezza [math]R[/math]; l'ipotenusa ha lunghezza [math]R + x[/math], e per Pitagora, il terzo lato ha quindi lunghezza [math]\sqrt{2Rx + x^2}[/math].

A meno che tu non sia molto molto alto, [math]x[/math] è molto molto inferiore a [math]R[/math] (che è ~6.400.000 metri), quindi [math]\sqrt{2Rx + x^2} \Approssimativamente \sqrt{2Rx}[/math] .

Si può notare che la distanza dai vostri occhi all'orizzonte non è proprio la stessa della distanza dai vostri piedi all'orizzonte, ma per piccole [math]x[/math] (e piccole qui significa ogni volta che non siete nello spazio) la differenza è abbastanza irrilevante. Il valore esatto della distanza dall'orizzonte "mentre la formica cammina" è l'angolo [math]\theta[/math] diviso per [math]2\pi[/math] moltiplicato per la circonferenza della Terra, che è [math]2\pi R[/math]. Quindi abbiamo [math]Distanza = R \arcsin{\frac{ \sqrt{2Rx + x^2}}{R+x}}[/math]. Ora, facciamo alcune approssimazioni. Innanzitutto, per valori piccoli, [math]\arcsin{t} \approx t[/math]. Secondo, per [math]x << R[/math], [math]R+x = R[/math]. Usando entrambi questi elementi, abbiamo
[math]Distanza = R \arcsin{\frac{ \sqrt{x (2R + x)}{R+x}}[/math] [math] = R \arcsin { \frac { \sqrt{2Rx}}{R}}[/math][math] = R \frac { \sqrt {2Rx}{R} = \sqrt{2Rx}[/math].