Cos'è meglio, 5 possibilità del 20% o una possibilità dell'80% di vincere un gioco?

Assumendo che tu possa vincere più di una volta nello scenario in cui hai cinque possibilità e tutto ciò che ti interessa è la tua vincita attesa, cinque possibilità del 20% sono migliori.

Intuitivamente, questo è facile da vedere; il numero atteso di volte in cui si vincerebbe in media con il 20% di possibilità di vincere e cinque possibilità è una volta. Con l'80% di probabilità di vincere e una sola possibilità, ci si aspetta di vincere solo 0,8 volte in media.

Per confermare questo, possiamo calcolare formalmente le vincite attese per ogni situazione.

Lasciamo che [math]x[/math] sia il payoff per vincere il gioco una volta.

La tua vincita attesa con l'unico 80% di possibilità di vincere è banale: [math]0,8x[/math].

Quando si hanno cinque probabilità di vincere del 20%, ci sono sei possibili vincite diverse (0, [math]x[/math], [math]2x[/math], ... [math]5x[/math]), e la probabilità di ogni specifica vincita [math]kx[/math] è [math]\binom{5}{k}(0.2)^k(0.8)^{5-k}[/math].

Quindi, la probabilità di vincere il payout [math]5x[/math] è [math](0.2)^5[/math]. La probabilità di vincere la vincita di [math]4x[/math] è [math]\binom{5}{4}(0.2)^4(0.8)[/math].

Continuando questa logica, si può vedere che il payoff previsto per giocare cinque volte con il 20% di probabilità di vincere ogni partita è:

[math]5x(0.2)^5 + 4x\binom{5}{4}(0.2)^4(0.8) + 3x\binom{5}{3}(0.2)^3(0.8)^2 + 2x\binom{5}{2}(0.2)^2(0.8)^3 + x\binom{5}{1}(0.2)(0.8)^4[/math].

Questo risulta essere uguale a [math]x[/math], che è precisamente la vincita prevista per una situazione in cui ci si aspetta di vincere il gioco in media una volta.

Nota che nella situazione in cui hai cinque possibilità del 20%, c'è una probabilità [math](0.8)^5 = 32.768\%[/math] di non vincere nulla, che supera il singolo scenario dell'80% di possibilità dove hai solo il 20% di possibilità di non vincere nulla. Se la vostra priorità è quella di massimizzare la probabilità di vincere almeno qualcosa, allora dovreste favorire la situazione singola dell'80%. Questa è anche l'analisi corretta per quando puoi vincere solo una volta, ma hai cinque tentativi per farlo.