Se 1+4=5, 2+5=12, e 3+6=21, cos'è 8+11?

Se i simboli delle cifre e gli operatori [math]+[/math] e [math]=[/math] sono usati nei loro sensi matematici convenzionali, allora la risposta può essere qualsiasi cosa tu voglia. Questo perché un'affermazione della forma "se qualcosa-falso allora qualcosa" è sempre vera in senso logico matematico. Per esempio, "se [math]2 + 5 = 12[/math] allora io sono Donald Trump" è un'affermazione vera, e rimane vera qualunque cosa mettiate nella seconda metà, perché [math]2 + 5[/math] non è uguale a [math]12[/math] con i simboli e gli operatori usati nei loro sensi convenzionali. Quindi potrei dire "se [math]1 + 4 = 5[/math], [math]2 + 5 = 12[/math], e [math]3 + 6 = 21[/math], allora [math]8 + 11 = 3.14159265[/math]", e nessuno può contestare questa affermazione: è vera come qualsiasi altra affermazione simile.

Tuttavia, se supponiamo che i simboli delle cifre o gli operatori siano usati in modo diverso dal loro senso convenzionale, ci sono molti e vari modi in cui possiamo pensare che ciò accada. Alcuni sono più utili di altri. Per esempio, se supponiamo semplicemente che il simbolo [math]=[/math] venga usato per indicare [math]\neq[/math], questo rende vere le tre premesse ma non ci dice nulla che ci aiuti a rispondere alla domanda finale: qualsiasi valore diverso da 19 diventa una risposta possibile.

Un modo naturale per considerare che i simboli o gli operatori sono usati in modo diverso dai loro sensi convenzionali è quello di supporre che le cifre e il segno di uguaglianza abbiano il loro significato abituale, ma che l'operatore [math]+[/math] sia usato in modo non standard. Per chiarezza, sostituiamolo con un simbolo alternativo, per esempio [math]\oplus[/math].

Un esempio:

Definire [math]\oplus : \mathbb{N} \volte \mathbb{N} \a \mathbb{N} \testo{ s.t. } (n, m) \mapsto n(m+1)[/math]

Allora [math]1 \plus 4 = 1 \tempo (4+1) = 1 \tempo 5 = 5[/math], [math]2 \plus 5 = 2 \tempo 6 = 12[/math], [math]3 \plus 6 = 3 \tempo 7 = 21[/math], e [math]\boxed{ 8 \oplus 11 = 8 \times 12 = 96 }[/math]

Ma ci sono infinitamente diverse definizioni che potremmo trovare che funzionerebbero ugualmente bene. Infatti, potremmo escogitare qualsiasi risposta particolare che desideriamo.

Un altro esempio:

Definire [math]\oplus : \mathbb{N} \volte \mathbb{N} \a \mathbb{Q} \testo{ s.t. } (n, m) \mappa 1\frac{5}{24}nm + \frac{3}{14} - \frac{1}{336}n^2m^2[/math]

Allora [math]1 \oplus 4 = \sinistra( 1\frac{5}{24} \cdot 1 \cdot 4 \destra) + \frac{3}{14} - \sinistra( \frac{1}{336} \punto 1^2 \punto 2^2 \destra) = 4\frac{5}{6} + \frac{3}{14} - \frac{1}{21} = 5[/math], [math]2 \frac{5}{2} = 12[/math], [math]3 \frac{3}{211} = 21[/math], e [math]8 \frac{3}{7}[/math]