Come fa 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..., fino all'infinito ad avere una somma?

Ogni somma finita [math]\displaystyle s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac1{2^n}[/math], ha un valore esatto, e in questo caso si può dimostrare che [math]s_n=1-\dfrac1{2^n}[/math].

I termini della sequenza [math]s_1, s_2, s_3, \ldots, s_n, \ldots[/math] non è mai maggiore di [math]1[/math]. Si dice che la sequenza è limitata e [math]1[/math] è un limite superiore.

Abbiamo anche che, se [math]m>n[/math], allora [math]s_m>s_n[/math]. La sequenza è crescente.

Una sequenza [math]\a_n}_{n\mathbb N}[/math] si dice convergente ad un valore [math]A[/math] (o la sequenza converge ad [math]A[/math]) se per qualsiasi [math]\delta\mathbb R^+[/math] positivo (non importa quanto piccolo sia), esiste un valore [math]M\in\mathbb N[/math] tale che, per qualsiasi [math]n>M[/math], allora [math]|A-a_n|<\delta[/math].

In altre parole, se si prende un qualsiasi quartiere (aperto) di [math]A[/math], non importa quanto piccolo sia quel quartiere, tutti i membri della sequenza sopra un certo sottoindice sono all'interno di quel quartiere. Che la sequenza si avvicina a [math]A[/math] e può avvicinarsi a qualsiasi [math]\delta[/math] arbitrariamente piccolo.

Come [math]s_n=1-\dfrac1{2^n}[/math] sembra avvicinarsi a [math]1[/math]. Abbiamo la congettura che [math]s_n[/math] converge a [math]1[/math]. Quindi il prossimo passo è dimostrarlo. Ora, abbiamo un qualsiasi [math]\delta[/math] positivo arbitrariamente piccolo. Poiché [math]\delta[/math] è un reale positivo, allora [math]\dfrac1\delta[/math] esiste ed è positivo anche lui. Prendiamo [math]M=lceil\log_2\frac1\delta\rceil[/math], allora [math]Mge\log_2\frac1\delta[/math], quindi [math]2^Mge\frac1\delta[/math], quindi [math]\frac1{2^M}le\delta[/math].

Ti lascerò capire perché per [math]n>M[/math], allora [math]|1-s_n|<\delta[/math].