Qual è il fattore razionale di√a+√b?

Qual è il fattore razionale di√a+√b?

Nota che se [math]a \ne b[/math] o almeno uno di essi non è un quadrato razionale perfetto allora [math]\sqrt{a}+sqrt{b}[/math] è irrazionale.

Prova: un numero razionale ha un quadrato razionale perché i numeri razionali sono chiusi sotto moltiplicazione e [math]y^2[/math] è solo [math]y \times y[/math].

[math]\sqrt{a}+sqrt{b} \destra )^2=a+b+2 \volte \sqrt{ab}[/math]

Ora [math]ab[/math] è un quadrato perfetto solo se [math]a=b[/math] (duh) o [math]a=c^2[/math] e [math]b=d^2[/math] allora [math]ab=c^2d^2=(cd)^2[/math] altrimenti [math]ab=c^2 \times k[/math] dove [math]k[/math] non è un quadrato perfetto e [math]\sqrt{ab}=c \times \sqrt{k}[/math]. E la radice di un quadrato non perfetto è irrazionale[1]. Anche il razionale per volte o più (e quindi anche meno o diviso per) irrazionale è irrazionale[2][3]. Quindi [math]\sqrt{a}+sqrt{b} \destra )^2[/math] è irrazionale e quindi anche [math]\sqrt{a}+sqrt{b}[/math].

Ora chiedere se il numero razionale [math]q \ne 0[/math] è un fattore razionale del numero irrazionale [math]\psi[/math] è come dire meno [math]\frac{\psi}{q}[/math] è anche un numero irrazionale valido.

Note

[1] Lukas Schmidinger'risposta a Are all non perfect square numbers'square roots irrational? E se sì, qual è la prova di questo?[2] Prova che razionale per irrazionale è irrazionale | Algebra I | Khan Academy[3] Prova che la somma di razionale e irrazionale è irrazionale | Algebra I | Khan Academy