Qual è la radice quadrata di 89?

Dal #89# è primo, #sqrt(89)# non può essere semplificato.

Puoi approssimarlo usando un metodo Newton Raphson.

Mi piace riformularlo un po 'come segue:

lasciare #n = 89# essere il numero di cui si desidera la radice quadrata.

scegliere #p_0 = 19#, #q_0 = 2# affinché #p_0/q_0# è una ragionevole approssimazione razionale. Ho scelto questi valori particolari da allora #89# è circa a metà strada tra #9^2 = 81# e #10^2 = 100#.

Iterare usando le formule:

#p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2#

#q_(i+1) = 2 p_i q_i#

Ciò darà una migliore approssimazione razionale.

Così:

#p_1 = p_0^2 + n q_0^2 = 19^2 + 89 * 2^2 = 361+356 = 717#

#q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76#

Quindi se ci fermassimo qui, otterremmo un'approssimazione:

#sqrt(89) ~~ 717/76 ~~ 9.434#

Facciamo un altro passo:

#p_2 = p_1^2 + n q_1^2 = 717^2 + 89 * 76^2 = 514089 + 514064 = 1028153#

#q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984#

Quindi otteniamo un'approssimazione:

#sqrt(89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113#

Questo metodo di Newton Raphson converge rapidamente.

#color(white)()#
In realtà, un'approssimazione piuttosto buona per #sqrt(89)# is #500/53#, da #500^2 = 250000# e #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt(89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396#

Se applichiamo un passaggio di iterazione a questo, otteniamo una migliore approssimazione:

#sqrt(89) ~~ 500001 / 53000 ~~ 9.4339811321#

#color(white)()#
Nota

Tutte le radici quadrate di numeri interi positivi hanno ripetute espansioni di frazione continua, che puoi anche usare per dare approssimazioni razionali.

Tuttavia, nel caso di #sqrt(89)# l'espansione della frazione continua è un po 'disordinata, quindi non è così bello lavorare con:

#sqrt(89) = [9; bar(2, 3, 3, 2, 18)] = 9+1/(2+1/(3+1/(3+1/(2+1/(18+1/(2+1/(3+...)))))))#

L'approssimazione #500/53# sopra è #[9; 2, 3, 3, 2]#