Qual è l'antiderivativo di #arcsin (x) #?

Useremo diverse tecniche per valutare l'integrale dato.

Innanzitutto, usiamo sostituzione :

lasciare #t = arcsin(x) => sin(t) = x#
Poi #dx = cos(t)dt#

Effettuando la sostituzione, abbiamo

#int arcsin(x)dx = int tcos(t)dt#

#color(white)#

Quindi, usiamo integrazione per parti:

lasciare #u = t# e #dv = cos(t)dt#
Poi #du = dt# e #v = sin(t)#

Applicare il integrazione per parti formula #intudv = uv - intvdu#

#inttcos(t)dt = tsin(t) - intsin(t)dt#

#=tsin(t) - (-cos(t)) + C#

#=tsin(t)+cos(t)+C#

Infine, sostituiamo #x# di nuovo dentro. Per capire perché #cos(t) = sqrt(1-x^2)# prova a disegnare un triangolo rettangolo in cui #sin(t) = x#.

#intarcsin(x)dx = xarcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C#