Qual è l'integrale indefinito di #ln (1 + x) #?

Abbiamo:

#I=intln(1+x)dx#

Noi useremo integrazione per parti, che assume la forma:

#intudv=uv-intvdu#

Quindi per #intln(1+x)dx#, permettere:

#{(u=ln(1+x)" "=>" "du=1/(1+x)dx),(dv=dx" "=>" "v=x):}#

Inserendolo nell'integrazione mediante la formula delle parti:

#I=xln(1+x)-intx/(1+x)dx#

Nell'integrare il secondo bit, potresti dividere a lungo, ma questo è più semplice:

#I=xln(1+x)-int(1+x-1)/(1+x)dx#

#I=xln(1+x)-int((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx#

#I=xln(1+x)-int(1-1/(1+x))dx#

#I=xln(1+x)-intdx+int1/(1+x)dx#

Entrambi sono integrali abbastanza semplici:

#I=xln(1+x)-x+ln(1+x)+C#

Factoring #ln(1+x)#:

#I=(x+1)ln(1+x)-x+C#