Qual è una soluzione all'equazione differenziale # dy / dx = y #?

Se non stai cercando generale soluzione, ma piuttosto giusta una soluzione, quindi a volte puoi capirlo per semplici equazioni differenziali come questa pensando per un secondo a cosa significa letteralmente l'equazione differenziale.

#dy/dx=y#

Stiamo cercando una funzione, #y#, che ha la proprietà di cui il derivato #y# è uguale a #y# stessa.

C'è una funzione che probabilmente hai imparato in precedenza che ha esattamente questa proprietà:

#y = e^x#.

La funzione #e^x# è così speciale proprio perché anche la sua derivata è uguale a #e^x#. Così #y = e^x# è una soluzione all'equazione differenziale.

Se anche tu sei interessato a trovare tutti soluzioni a questo DE, (o non sei interessato a tentativi ed errori), allora puoi risolvere questo DE separando le variabili.

Considerare #dy# e #dx# ciascuno come variabili discrete. Quindi potresti fare qualcosa come moltiplicare entrambi i lati per #dx# e finiamo con:

#iff dy=ydx#

E poi dividi entrambi i lati per #y#:

#iff dy/y=dx#

Ora, integra il lato sinistro #dy# e il lato destro #dx#:

#iff int 1/y dy=int dx#

#iff ln |y|=x+C#

Ricorda di aggiungere la costante di integrazione, ma ne abbiamo solo bisogno.

Solleva entrambi i lati di #e# per cancellare il #ln#:

#iff y=+-e^(x+C)#

Ora, tirando il #C# davanti:

#iff y=+-Ce^x#

Dal #C# può essere positivo o negativo, non abbiamo davvero bisogno di #+-#:

#iff y=Ce^x#

Quindi c'è la nostra soluzione generale: qualsiasi multiplo costante di #e^x# è una soluzione all'equazione differenziale, che ha senso.