Trova l'equazione della linea attraverso il punto # (3, 5) # che taglia la minima area dal primo quadrante?

Penso che sarà la linea attraverso #(0, 10)# e #(6, 0)# tagliando un triangolo di area #30# dal Q1.

Perché?

Se il punto dato era #(1, 1)# allora l'area minima sarebbe per una linea attraverso #(0, 2)# e #(2, 0)#. Quindi allungare questa soluzione in senso orizzontale (di un fattore di #3#) e verticalmente (per un fattore di #5#).

Controlliamo usando un po 'di algebra e calcolo ...

Supponiamo che la linea passi attraverso #(t, 0)# e #(3, 5)#, Dove #t > 3#.

Poi il #y# l'intercettazione è a #(0, (5t)/(t-3))#

Quindi l'area del triangolo è:

#1/2 t*(5t)/(t-3) = (5t^2)/(2(t-3))#

Quindi:

#d/(dt) (5t^2)/(2(t-3)) = (5t)/(t-3) - (5t^2)/(2(t-3)^2)#

#color(white)(d/(dt) (5t^2)/(2(t-3))) = (5t)/(2(t-3)^2)(2(t-3)-t)#

#color(white)(d/(dt) (5t^2)/(2(t-3))) = (5t)/(2(t-3)^2)(t-6)#

Dal momento che abbiamo bisogno #t > 3#, lo zero della derivata che vediamo è quando #t=6#, confermando la soluzione geometrica proposta sopra.

Possiamo scrivere l'equazione di questa riga come:

#5x+3y-30 = 0#