Trova una funzione vettoriale, #r (t) #, che rappresenta la curva di intersezione delle due superfici. Il cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 81 # e la superficie #z = xy #?
Risposta:
La curva di intersezione può essere parametrizzata come #(z,r) = ((81/2) sin2theta, 9)#.
Spiegazione:
Non sono sicuro di cosa intendi per funzione vettoriale. Ma capisco che cerchi di rappresentare la curva di intersezione tra le due superfici nell'affermazione della domanda.
Poiché il cilindro è simmetrico attorno al #z# asse, potrebbe essere più semplice esprimere la curva in coordinate cilindriche.
Cambia in coordinate cilindriche:
#x = r costheta#
#y = r sintheta#
#z = z#.
#r# è la distanza dal #z# asse e #theta# è l'angolo in senso antiorario rispetto a #x# asse in #x,y# piano.
Quindi la prima superficie diventa
#x^2 + y^2 = 81#
#r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = 81#
#r^2=81#
#r=9#,
a causa dell'identità trigonometrica di Pitagora.
La seconda superficie diventa
#z = xy#
#z = rcostheta rsintheta#
#z= r^2sinthetacostheta#.
Abbiamo imparato dall'equazione della prima superficie che la curva che si interseca deve essere a una distanza quadrata #r^2=81# dalla prima superficie, dando quello
#z = 81 sintheta cos theta#,
#z = (81/2) sin2theta#,
una curva parametrizzata da #theta#. L'ultimo passo è un'identità trigonometrica ed è fatto proprio dalle preferenze personali.
Da questa espressione vediamo che la curva è davvero una curva, poiché ha un grado di libertà.
Tutto sommato, possiamo scrivere la curva come
#(z,r) = ((81/2) sin2theta, 9)#,
che è una funzione con valori vettoriali di una singola variabile #theta#.