Un pallone si alza alla velocità di 8 piedi / sec da un punto a terra a 60 piedi dall'osservatore. Come si trova la velocità di variazione dell'angolo di elevazione quando il palloncino si trova a 25 piedi dal suolo?

Per risolvere questo problema relativo alle tariffe (di modifica):

lasciare #y# = l'altezza del pallone e lasciare #theta# = l'angolo di elevazione.
Ci viene detto questo #(dy)/(dt)=8# ft / sec.
Ci viene chiesto di trovare #(d theta)/(dt)# quando #y=25# ft.

Disegna un triangolo rettangolo con base = 60 ft (che non cambia), altezza #y# e angolo opposto all'altezza #theta#.

Poi # tan theta = y/60# e #y=60 tan theta#.

Differenziazione rispetto a #t# ci da:

#d/(dt)(y)=d/(dt)(60 tan theta)#.

#(dy)/(dt) = 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#.

Ci viene chiesto di trovare #(d theta)/(dt)# quando #y=25#.

Abbiamo: #8= 60 sec^2 theta (d theta)/ (dt)#, Così

#(d theta)/ (dt)=8/60 cos^2 theta = 2/15 cos^2 theta#.

Abbiamo bisogno di #cos theta# quando #y=25#.
Con base = 60 e altezza = 25, otteniamo ipotesi #c= sqrt (60^2 + 25^2) = sqrt ((5*12)^2+(5*5)^2)=5sqrt ((12)^2+(5)^2) = 5*13 = 65#.

Cosi quando #y=25#, noi abbiamo: #cos theta = 60/65=12/13#.

So
#(d theta)/ (dt) = 2/15 cos^2 theta= 2/15 (12/13)^2 = 96/845# radianti / sec

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(Ricorda, per usare #d/(d theta)(tan theta) = sec^2 theta#, noi dobbiamo avere #theta# o un numero reale o la misura in radianti (non gradi) di un angolo.)