Una particella si muove in un cerchio di raggio R in modo tale che in ogni istante la componente normale e tangenziale della sua accelerazione siano uguali. Se la sua velocità at = 0 è # v_o #, il tempo impiegato per completare la prima rivoluzione è?

chiamata #hat n = (cos theta, sin theta)# e #hat tau = (-sintheta, costheta)# ne ha

#p = R hat n rArr dot p = R dot theta hat tau rArr ddot p = R ddot theta hat tau - R (dot theta)^2 hat n#

Abbiamo

#R ddot theta = R (dot theta)^2 rArr dot v_t = 1/R v_t^2#

Qui #v_t = # velocità tangenziale.

Integrazione

#1/v_t +t/R = 1/v_0# ma #v_t = (ds)/dt# so

#(ds)/(dt) = (R v_0)/(R-t v_0)# e integrarsi di nuovo

#s = s_0 - R log_e((R-t v_0)/R)# ma #s_0 = 0# e

#2piR = -R log_e((R-t v_0)/R)# poi

#t = R/v_0(1 - e^(-2pi))#