Valutare sin 20?

Primo metodo:

E il metodo di gran lunga più semplice è usare una calcolatrice

#sin(20^@)~~0.34202014332566# 14 decimali

Secondo metodo:

Se tutti i pulsanti trigonometrici della calcolatrice sono rotti,
dopo tutta la matematica selvaggia :), c'è un'altra soluzione

Usa il identità

• #sin(3theta)=3sin(theta)-4sin^3(theta)#

lasciare #theta=20^@#

#sin(60^@)=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)#

Ma #sin(60^@)=sqrt(3)/2#

#sqrt(3)/2=3sin(20^@)-4sin^3(20^@)#

#=>3sin(20^@)-4sin^3(20^@)-sqrt(3)/2=0#

lasciare #x=sin(20^@)#

#3x-4x^3-sqrt(3)/2=0#

#3/4x-x^3-sqrt(3)/8=0#

#x^3-3/4x+sqrt(3)/8=0#

In altre parole #sin(20)# deve essere una soluzione a questo cubo

Con il metodo di Newton possiamo approssimare questa radice
(Comunque stai un po 'attento)

#x_(n+1)=x_n-f(x_n)/(f'(x_n))#

Sappiamo che

#f(x)=x^3-3/4x+sqrt(3)/2# and #f'(x)=3x^2-3/4#

Drawn #sin(20)# sembra circa un terzo (in realtà una supposizione davvero buona)

#x_0=1/3#

Con il metodo di Newton

#x_1=1/3-((1/3)^3-3/4(1/3)+sqrt(3)/2)/(3(1/3)^2-3/4)~~ 0.341837464493#

#x_2=x_1-f(x_1)/(f'(x_1))~~ 0.342020057633#

#x_3=x_2-f(x_2)/(f'(x_2))~~ 0.342020143326#

Dopo 3 passi precisi con almeno 12 cifre decimali

Dopo solo 6 passaggi, dovremmo avere una precisione di circa 100 cifre,
secondo Wolfram Alpha, secondo il metodo di Newton