Autovalori e Autovettori
Gli autovalori di una matrice reale possono essere complessi, ad autovalori reali corrispondono autovettori reali. Gli autovalori sono determinati a meno di una costante moltiplicativa.
Se λ è un autovalore di A, allora λk è un autovalore di Ak per ogni k > 0; se A è regolare, allora λ-k è un autovalore di A-k.
Matrici Definite Positive
Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi. Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è definita positiva. Se è definita positiva e è un numero reale, allora è definita positiva.
Matrici Simili e Unitarie
Quando due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico? Se la matrice A è simile a B e la matrice B è simile a C, allora la matrice A è simile C. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Come vedere se una matrice è unitaria? Una matrice A ∈ Rn×n si dice unitaria quando AAT = AT A = I.
Determinante e Invertibilità
Il determinante può essere calcolato soltanto nelle matrici quadrate, ossia nelle matrici che hanno un eguale numero di righe e colonne (m=n).
Per quale parametro una matrice è uguale a quella invertibile? Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Di conseguenza, per studiare l’invertibilità di una matrice parametrica, ne calcoleremo il determinante e lo porremo uguale a zero.
Quando una matrice è non singolare? Una matrice quadrata A è non singolare se il suo determinante det(A) è diverso da zero.