Cosa significa un mod b?

Ci sono un paio di modi per definirlo. Il più comune è probabilmente [math] a \equiv b \bmod n[/math] quando [math] a - b [/math] è un multiplo di [math] n[/math]. Così [math] 25 \equiv 13 \mod 4[/math], poiché 25 - 13 = 12, che è un multiplo di 4.

Ecco come lo spiego nel mio corso di matematica delle arti liberali:

La matematica è tutta una questione di generalizzazione di un concetto, quindi consideriamo il concetto "+1". Sappiamo che 5 + 1 = 6, e così via, ma cosa significa?

Una possibilità è che "+1" ti dà "la cosa successiva". Quindi 5 + 1 è "il numero successivo" al 5, che è il motivo per cui è 6.

Una volta che generalizziamo "+1" alla "cosa successiva", possiamo applicarlo a qualsiasi situazione in cui c'è una "cosa successiva" chiaramente definita. Quindi consideriamo i giorni della settimana:

Lunedì + 1 = Martedì

Martedì + 1 = Mercoledì

ecc.

Una volta che vediamo "+1" come "la cosa successiva", che dire di "+2"? Chiaramente questo dovrebbe essere "la seconda cosa dopo", quindi lunedì + 2 = mercoledì. Possiamo continuare: Lunedì + 3 = Giovedì, Lunedì + 4 = Venerdì, ecc.

Ora consideriamo Lunedì + 7. Questo è il settimo giorno dopo il lunedì, che è il lunedì. Quindi scriviamo: Lunedì + 7 = Lunedì.

Ancora una volta, la matematica è tutta una questione di generalizzazione, quindi consideriamo questa affermazione: Abbiamo aggiunto 7, ma non c'è nessun effetto apparente sulla risposta.

Aggiungere 7, in altre parole, è proprio come aggiungere 0. Mentre potremmo scrivere [math] 7 = 0[/math], questo sembra particolare, quindi introdurremo il simbolo [math] \equiv[/math], scriveremo [math] 7 \equiv 0[/math], e diremo che 7 è congruente o equivalente a 0. Poiché 7 è il numero minore congruente a 0, diciamo che 7 è il modulo.

Questo tipo di aritmetica si presenta in altri contesti. Per esempio, cos'è febbraio + 1? Usando la logica del "prossimo", sarà marzo. Con lo stesso processo, alla fine concludiamo febbraio + 12 = febbraio, quindi [math] 12 \equiv 0[/math]. Di nuovo, 12 è il minimo numero congruente a 0, quindi noi è il modulo.

Aspetta, aspetta, dici. "È [matematica] 7 \equiv 0[/math] o [matematica] 12 \equiv 0[/math]?" E la risposta è: dipende se stai parlando di giorni o di mesi. Dobbiamo specificare. Potremmo scrivere "[math] 7 \equiv 0 \text{ quando si parla di giorni della settimana}[/math]". Invece, scriviamo [math]7 \equiv 0 \bmod 7[/math], identificando esplicitamente il modulo.

In realtà, mentre questa notazione è standard, è in realtà una cattiva notazione, perché il [math] \bmod 7[/math] si applica a entrambi i lati. Una forma leggermente migliore, che si vede usata da alcuni autori, è [math] 7 \equiv 0, \bmod 7[/math], dove il [math] \bmod 7[/math] è separato dalla dichiarazione da una virgola. Questo rende (un po') più chiaro che il [math] \bmod 7[/math] si applica a entrambi.

Il modo migliore sarebbe scrivere entrambi: [7 \bmod 7 \equiv 0 \bmod 7[/math]. Un'alternativa accettabile è che, una volta stabilito il modulo per scrivere nessuno dei due: [math] 7 \equiv 0[/math].