Qual è la derivata di (500/x)?

Lascia che [math]f(x)=\frac{500}x[/math] per [math]x\ne 0[/math]. Allora dovresti prima notare che la derivata può essere definita solo per [math]x\ne 0[/math]. Usando la definizione di derivata, abbiamo

[math]f'(x) = \displaystyle \lim_{h\a 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\a 0}\frac{frac{500}{x+h}-\frac{500}x}h[/math]

Per calcolare questo limite, possiamo aggiungere le frazioni usando un denominatore comune per ottenere

[math]f'(x) = \displaystyle \lim_{h\a 0}\frac{frac{500x-500(x+h)}{x(x+h)}h[/math]

Un po' più di algebra dà

[math]f'(x) = \displaystyle \lim_{h\to 0}{frac{-500h}{x(x+h)h}[/math]

E vediamo che il fattore di [math]h[/math] si annulla dal numeratore e dal denominatore lasciando il limite più semplice

[math]f'(x) = \displaystyle \lim_{h\a 0}{frac{-500}{x(x+h)}[/math]

Siccome né il numeratore né il denominatore sono zero a [math]h=0[/math], abbiamo la nostra risposta semplicemente sostituendo [math]h=0[/math] in questa espressione.

[math]f'(x) =-\frac{500}{x^2}[/math]

Naturalmente, se avete provato la regola del quoziente o la regola della potenza per gli esponenti negativi, potete applicare quei teoremi per ottenere questa risposta più velocemente, ma questa derivata è abbastanza semplice da fare usando la definizione e un po' di algebra.