Qual è il resto quando (9×99×999×9.999×99.999×...×9.999.999.999) è diviso per 17?

Possiamo calcolare rapidamente le varie ripetizioni di [math]9[/math] modulo [math]17[/math].

Se abbiamo [math]\ k_n\equiv 10^n-1\pmod{17}\ [/math] allora [math]\ k_{n+1}\equiv 10k_n+9\pmod{17}[/math].

Quindi se continuiamo a moltiplicare per [math]10[/math] e ad aggiungere [math]9[/math], questo mi darà le congruenze modulo [math]17[/math] che ci servono:

[math]^1-1\equiv 9[/math]

[math]^2-1\equiv 99\equiv -3[/math]

[math]^3-1\equiv -21\equiv -4[/math]

[math]^4-1\equiv -31\equiv 3[/math]

[math]\quadro 10^5-1\equiv 39\equiv 5[/math]

[math]\quadro 10^6-1\equiv 59\equiv 8[/math]

[math]\quadro 10^7-1\equiv 89\equiv 4[/math]

[math]\quadro 10^8-1\equiv 49\equiv -2[/math]

[math]\quad 10^9-1\equiv -11\equiv 6[/math]

[math]\quad 10^{10}-1\equiv 69\equiv 1[/math]

La nostra risposta è semplicemente il prodotto di tutti questi moduli [math]17[/math].

[math]\quad -(9\cdot 3\cdot 4)(3\cdot 5\cdot 8)(4\cdot 2\cdot 6)[/math]

[math]\quad\quad=\ -(108\cdot 120\cdot 48)\ \equiv\ -(6\cdot 1\cdot (-3))\ =\ 18\ \equiv\ 1[/math]

So the answer is that the remainder is [math]1[/math].