Come calcolare 9+2×99+3×999+4×9999+5×99999+6×999999+7×9999999+8×99999999+9×999999999 senza calcolatrice

Cinquant'anni fa, la gente valutava logaritmi, funzioni trigonometriche, radici quadrate ed espressioni aritmetiche contorte come quella richiesta qui senza una calcolatrice. Questa domanda mi rattrista per questo motivo.

Per rallegrare di nuovo il mio spirito, lasciatemi lavorare senza calcolatrice, come richiesto. In realtà, la risolvo in generale. Piuttosto che fermarmi a [math]9\times 99999999999[/math], risolverò la somma se ti fermi a [math]n\times (n \textrm{ nines})[/math], in termini di [math]n[/math].

Prima di tutto, nota che una stringa di [math]n[/math] nines è [math]10^n-1[/math]. Quindi stiamo valutando

[math]\displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^r-1)[/math]

[math]=\displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^r) - \sum_{r=1}^n r.[/math]

La seconda somma è ben nota per essere uguale a [math]\dfrac{n(n+1)}{2}[/math], in quanto è una semplice serie aritmetica. Ora ci concentriamo su [math]\displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^r)[/math]. Chiamiamo questa somma [math]S_n[/math]. Così

[math]S_n = \displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^r)[/math]

[math]10S_n = \displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^{r+1})[/math]

[math]10S_n + \displaystyle\sum_{r=1}^n 10^{r+1} = \sum_{r=1}^n r(10^{r+1}) + \sum_{r=1}^n 10^{r+1} = \sum_{r=1}^n (r+1)(10^{r+1}) = \sum_{r=2}^{n+1} r(10^r).[/math]

Quindi

[math]10S_n + \displaystyle\sum_{r=1}^n 10^{r+1} = S_n + (n+1)10^{n+1} - 1(10)[/math]

[math]9S_n = (n+1)10^{n+1} - 10 - \displaystyle\sum_{r=1}^n 10^{r+1}[/math]

La somma [math]\displaystyle\sum_{r=1}^n 10^{r+1}[/math], essendo una serie geometrica, è nota per essere uguale a [math]\dfrac{10^2(10^n-1)}{10-1} = \dfrac{100}{9}(10^n-1)[/math]. Quindi

[math]9S_n = (n+1)10^{n+1} - 10 - \dfrac{100}{9}(10^n-1)[/math]

[math]= (n+1)(10^{n+1}) - 10 - \frac{10}{9}10^{n+1} + \frac{100}{9}[/math]

[math]= 10^{n+1}(n+1-\frac{10}{9}) + \frac{10}{9}[/math]

[math]= 10^{n+1}(n-\frac{1}{9}) + \frac{10}{9}[/math]

[math]S_n = \dfrac{10^{n+1}{9} a sinistra(n-\dfrac{1}{9}destra) + \dfrac{10}{81}[/math]

[math]= \dfrac{10^{n+1}}{9}left(\frac{9n-1}{9}destra) + \dfrac{10}{81}[/math]

[math]S_n = \dfrac{10}{81}(1 + 10^n(9n-1)).[/math]

Quindi la nostra somma si valuta a [math]S_n - \dfrac{n(n+1)}{2}[/math], o a

[math]\mathbf{dfrac{10}{81}(1 + 10^n(9n-1)) - \dfrac{n(n+1)}{2}.

Nel nostro caso, [math]n=9[/math], quindi valutiamo

[math]\dfrac{10}{81}(1 + 10^9(9\times 9-1)) - \dfrac{9\times 10}{2}[/math]

[math]= \dfrac{10}{81}(1 + 10^9\times 80) - \dfrac{90}{2}[/math]

[math]= \dfrac{10}{81}(1 + 8^tempi 10^{10}) - 45[/math]

[math]= 10^tempi\dfrac{80000000001}{81} - 45.[/math]

Come facciamo a valutare [math]\dfrac{80000000001}{81}[/math] senza usare una calcolatrice? Semplice. Prima dividiamo [math]80000000001[/math] per [math]9[/math], poi dividiamo il risultato per [math]9[/math] di nuovo. Notate che [math]80 = 8 volte 9 + 8[/math]. Quindi [math]\dfrac{80000000001}{9} = 8888888889[/math]. Ora dividiamo nuovamente questo numero per [math]9[/math]. Questa volta notiamo che [math]88 = 9 volte 9 + 7[/math], [math]78 = 8 volte 9 + 6[/math], [math]68 = 7 volte 9 + 5[/math], [math]58 = 6 volte 9 + 4[/math], [math]48 = 5 volte 9 + 3[/math], [math]38 = 4 volte 9 + 2[/math], [math]28 = 3 volte 9 + 1[/math] e [math]18 = 2 volte 9 + 0[/math]. Hence [math]\dfrac{8888888889}{9}=987654321[/math]. Quindi alla fine, la somma data è

[math]10\times 987654321 - 45 = 9876543210 - 45 = 9876543200 - 35 = 9876543165.[/math]