3c/d+1-2c+5/d+3=3/2. Qual è il valore di c e d?

[math]\frac{3c + 5}{d} - 2c = -\frac{5}{2}[/math]

Ci sono troppe soluzioni per, diciamo, razionali [math]c[/math] e [math]d[/math]. [math]d \neq 0[/math], ma basta scegliere qualsiasi altro valore di [math]d[/math] e [math]c[/math] per adattarsi. Assumerò l'integrale [math]c,d[/math] (abbiamo ancora bisogno di [math]d \neq 0[/math], naturalmente).

[math]c\left(\frac{3}{d} - 2\right) = -5 \frac{2 + d}{2d}[/math]

[math]d[/math] può'essere [math]1[/math] o [math]3[/math] o [math]-1[/math] o [math]-3[/math]; il lato sinistro sarebbe quindi un intero e il lato destro no.

[math]c = -5 \frac{2 + d}{6 - 4d}[/math]

[math]6 - 4d | 5(2 + d)[/math]

[math]d[/math] deve essere effettivamente pari. Allora

[math]3 - 2d | 5(2 + d)[/math]

O [math]5 \nmid 3 - 2d[/math] e [math]3 - 2d | 2 + d[/math]

[math]3 - 2d | 4 + 2d + 3 - 2d = 7[/math]

[math]3 - 2d = \pm 1[/math] or [math]3 - 2d = \pm 7[/math]

[math]d \in \{1, 2, 5, -2\}[/math]

But [math]d[/math] must be even:

[math]d \in {2, -2}[/math]

[math]c = -5 \frac{2 + d}{6 - 4d)}[/math], so

[math](c, d) \in \{(10, 2), (0, -2)\}[/math]

or [math]5 | 3 - 2d[/math]

[math]d = 5s - 1[/math] ([math]s \in \Z[/math])

[math]5 - 10s | 5(2 + 5s - 1)[/math]

[math]1 - 2s | 5s + 1[/math]

[math]1 - 2s | 7s[/math]

Clearly [math](1 - 2s, s) = 1[/math], so

[math]1 - 2s | 7[/math]

[math]1 - 2s \in \{1, -1, 7, -7\}[/math]

[math]s \in {0, 1, -3, 4\}[/math]

[math]d = 5s - 1[/math], and [math]d[/math] must be even

[math]d \in \{4, -16\}[/math]

[math]c = -5 \frac{2 + d}{6 - 4d}[/math]

[math](c, d) \in \{(3, 4), (1, -16)\}[/math]

Combining the two sets of solutions,

[math](c, d) \in \{(10, 2), \(3, 4), (1, -16), (0, -2)\}[/math]