Se x^4+1/x^4=47, allora qual è x^3+1/x^3?

Posto che

[math]x^4+\frac{1}{x^4}=47[/math]

[math]\sinistra(x^2+frac{1}{x^2}\right)^2-2=47[/math]

[math]\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=49[/math]

[math]\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2}=\sqrt{49} \quadro (\testo{prendere le radici quadrate da entrambi i lati})[/math]

[math]\sinistra|x^2+frac{1}{x^2}}destra|=7[/math]

[math]x^2+frac{1}{x^2}=7 \quadro \sinistra(\perché x^2+frac{1}{x^2}ge2 \per tutti \xne0\destra)[/math]

[math]\sinistra(x+frac{1}{x}destra)^2-2=7[/math]

[math]\sqrt{sinistra(x+frac{1}{x}destra)^2=9[/math]

[math]\sqrt{sinistra(x+frac{1}{x}destra)^2}=sqrt9 \quadrato (\testo{ prendere radici quadrate da entrambi i lati})[/math]

[math]\left|x+\frac{1}{x}\right|=3[/math]

[math]x+\frac{1}{x}=\pm 3[/math]

[math]\therefore x^3+\frac{1}{x^3}[/math]

[math]=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right) [/math]

[math]=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\right) [/math]

[math]=\left(\pm3\right)\left(\left(\pm3\right)^2-3\right) [/math]

[math]=(\pm3)(6)[/math]

[math]=\pm18[/math]

[math]\boxed{\Large{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm18}} [/math]