Chi può dimostrare [math]1 = -1[/math]?

Nella primissima lezione che ho avuto come studente alla mia università locale, il docente ci ha salutato con il seguente argomento. Dovevamo individuare cosa c'era di sbagliato. Nel seguito, [math]\sqrt{x}[/math] indica la radice quadrata principale di [math]x[/math].

[math]1=sqrt{1}=sqrt{-1\times -1}=sqrt{-1}=i\times i=i^2=-1[/math]

Quindi [math]1=-1[/math].

Non riuscivamo a capire quale fosse l'errore. Il professore ci ha poi detto che la regola [math]\sqrt{ab}=sqrt{a}times\sqrt{b}[/math] non funziona se sia [math]a[/math] che [math]b[/math] sono negativi.

Il mio amore, intrigo e senso di scoperta per la bellissima materia della matematica, è diventato monumentale da quella lezione, al punto che ho deciso di perseguire una carriera in matematica.

EDIT: Grazie a tutti per i vostri commenti. Chi ha detto che la matematica non può essere polemica? Guardate la sezione commenti di questo post e sarete smentiti da questa nozione.

Quello che segue è una spiegazione tecnica sul perché l'argomento di cui sopra che [math]1=-1[/math] è sbagliato (nel campo dei numeri complessi). Sentitevi liberi di saltare questa parte se non volete i dettagli tecnici.

Prima di tutto, nessuno può argomentare contro l'uguaglianza [math]1=sqrt{1}=sqrt{-1\times -1}[/math]. In secondo luogo, nessuno può argomentare contro l'uguaglianza [math]\sqrt{-1}=i\times\sqrt{-1}=i\times i=i^2=-1[/math]. Queste due uguaglianze sono vere. Quindi il problema deve essere l'affermazione che [math]‗sqrt{-1\tempi -1}=sqrt{-1}=times\sqrt{-1}[/math]. Infatti, questo è falso.

Qui abbiamo bisogno del concetto di radice quadrata principale. La radice quadrata principale di un numero reale non negativo [math]c[/math] è la radice senza segno (positiva) dell'equazione [math]x^2-c=0[/math]. Purtroppo, nel campo dei numeri complessi, non esiste il concetto di positivo e negativo. Non solo: non c'è il concetto di se un numero è più grande di un altro. Tecnicamente, il campo dei numeri complessi non è un campo ordinato. Una condizione necessaria perché un campo sia ordinato è che il numero zero non possa essere scritto come somma di due quadrati (o, equivalentemente, che il quadrato di ogni numero nel campo sia non negativo). Questo è vero nel campo dei numeri reali (e, infatti, questo campo è ordinato) ma non è vero per il campo dei numeri complessi, perché, per esempio, [math]i^2+1^2=0[/math].

A causa di questo, non esiste una radice quadrata principale di [math]-1[/math], e l'argomento si blocca. Questo è il motivo per cui il mio professore ci aveva detto che [math]\sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}[/math] funziona solo per [math]a[/math] e [math]b[/math] positivi (in realtà, non negativi): in tali casi, la radice quadrata principale di [math]a[/math] e [math]b[/math] esiste, quindi tutto va bene. Per [math]a[/math] o [math]b[/math] negativi, la radice quadrata principale non esiste.