Perché 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7 condividono la stessa combinazione di cifre nella parte ripetuta della loro espansione decimale?

Beh, perché devono.

I settimi hanno una proprietà interessante: la loro rappresentazione decimale ha un blocco ripetuto di sei cifre. Perché è interessante? Perché sei è uno in meno di sette, e non può essere più grande. Qualsiasi frazione [math]\frac{m}{n}[/math], quando è scritta come decimale, deve avere un blocco ripetuto di al massimo [math]n-1[/math] cifre. Per [math]n=7[/math], il blocco raggiunge la sua dimensione massima possibile.

Perché un blocco non può essere più grande di [math]n-1[/math] cifre? È facile: perché ci sono [math]n-1[/math] numeri interi da [math]1[/math] a [math]n-1[/math]. Quando si divide [math]m.00000\ldots[/math] per [math]n[/math], il resto è un qualsiasi numero intero da [math]0[/math] a [math]n-1[/math]. Quando il resto è zero, il processo di divisione finisce, mentre se è tra [math]1[/math] e [math]n-1[/math], il processo di divisione continua. E ci sono solo [math]n-1[/math] numeri da [math]1[/math] a [math]n-1[/math], quindi la dimensione del blocco più lungo deve essere [math]n-1[/math], il caso in cui la divisione cicla attraverso tutti i possibili resti non nulli [math]n-1[/math].

Siccome tutte le cifre dopo la virgola sono zeri, questi sei possibili remainders per i settimi genereranno lo stesso blocco di sei cifre, ma in un ciclo diverso. Per [math]1/7[/math], otteniamo [math]142857[/math]. Per [math]2/7[/math], partiamo dal secondo numero più grande di questo ciclo, [math]2[/math], leggiamo le cifre da lì in poi, e torniamo all'inizio: [math]285714[/math]. Per [math]3/7[/math], partiamo dal terzo numero più grande, [math]4[/math]: [math]428571[/math]. Per [math]4/7[/math], partiamo dal quarto numero più grande, [math]5[/math]: [math]571428[/math]. E così via: [math]5/7[/math] ha il blocco [math]714285[/math], e [math]6/7[/math] ha il blocco [math]857142[/math].

Un altro modo per capire questo è notare che [math]142857\times 7 = 999999[/math]. Quindi [math]1000000/7 = 142857 + 1/7[/math]. Dividendo entrambi i lati per [math]1000000[/math],

[math]1/7 = 0.142857 + \frac1{1000000}(1/7)[/math]

[math]= 0.142857 + (0.000000142857 +\frac1{1000000^2}(1/7))[/math]

[math]=0.142857 + (0.000000142857 + (0.00000000142857 + \frac1{1000000^3}(1/7))[/math]

[math]=0.142857142857142857\ldots.[/math]

Per [math]2/7[/math], [math]3/7[/math] ecc, tutto quello che facciamo è ripartire da [math]142857\times 7=999999[/math] e moltiplicare entrambi i lati per [math]2[/math] (o per [math]3[/math], ecc.), per ottenere [math]285714\times 7 = 1999998[/math], quindi [math]2000000/7 = 285714 + 2/7[/math], e così via.