Qual è la radice quadrata di 7+2√10?

Una confluenza di eventi negli ultimi giorni mi costringe a scrivere una risposta che sarà sicuramente vista come eccessivamente lunga per una domanda così semplice. Ma forse si rivelerà utile ad altri in un secondo momento, dato che queste domande sembrano sorgere spesso su Quora.

Ecco la mia storia. Due giorni fa in una sessione di tutoraggio, nel piccolo college dove lavoro part-time ora, uno studente è venuto da me con il seguente problema assegnato in una delle classi di Algebra del College: risolvere l'equazione radicale [math]\sqrt{x-3} + 6 = x[/math]. Potreste avere familiarità con tali problemi, e il solito metodo di squadrare e sostituire con un'equazione quadratica che può essere risolta per [math]x[/math] . I problemi del libro di testo sono quasi sempre impostati in modo da ottenere due soluzioni razionali dell'equazione quadratica, ognuna delle quali deve essere controllata per essere una soluzione effettiva dell'equazione radicale originale. Tipicamente, una delle soluzioni dell'equazione quadratica è estranea, cioè non è una soluzione dell'equazione radicale, mentre l'altra lo è. Problema risolto.

Allora si procede riscrivendo l'equazione radicale come [math]\sqrt{x-3} = x - 6,[/math] e squadrando entrambi i lati per eliminare la radice quadrata, ottenendo l'equazione quadratica [math]x^2 - 13x + 39 = 0.[/math] Questo è quando le cose vanno male. Le soluzioni non sono numeri razionali, ma aste: [math]x = (13 \pm \sqrt{13})/2 .[/math] Per verificare che entrambe siano una soluzione effettiva, dobbiamo sostituire l'equazione originale [math]\sqrt{x-3} + 6 = x[/math] e porre la domanda, è

[math]\sqrt{sinistra(\frac{13 \pm \sqrt{13}}{2}destra)-3\,\,\,\,+ 6 \,=, \frac{13 \pm \sqrt{13}}{2},? \tag*{}[/math]

Nella pressione del momento, non sono riuscito a capire come semplificare quella radice quadrata di una radice quadrata! Le due possibilità sono state sottoposte a una calcolatrice portatile e abbiamo forzato la conclusione che la soluzione provvisoria con il segno più basso non soddisfaceva l'equazione, mentre l'altra sì. Problema risolto [math]\ldots[/math] ma non felicemente. Con il senno di poi, sarebbe stato bene semplificare un po' il problema semplificando il radicale a sinistra, e moltiplicando entrambi i lati per [math]2,[/math] per portarlo alla forma

[math]\sqrt{2}},\sqrt{7 \pm \sqrt{13},\\,+ 12 \,=\, 13 \pm \sqrt{13},? \tag{q1}[/math]

Ho giurato quella notte di approfondire il problema.

La mattina dopo, mi sono imbattuto in una domanda su Quora che mi ha ricordato ancora una volta quello che volevo fare. Non solo, ma un suggerimento molto bello per risolvere tali problemi è stato presentato in Ajay Patel'la risposta alla domanda. La sua risposta e la sua procedura sembrano essere state tutte ignorate, quindi vorrei portare la vostra attenzione qui. Si basa sulla semplice identità dei quadrati perfetti:

[math]\sinistra(\sqrt{x} \pm \sqrt{y}}destra)^2 = x \pm 2\,\sqrt{xy} + y = x + y \sqrt{4xy},, \tag*{}[/math]

da cui segue che

[math]\sqrt{x + y \pm \sqrt{4xy},} = \lvert\,\sqrt{x} \sqrt{y},\rvert\,. \tag{I}[/math]

Conclusione

Supponiamo, quindi, di avere un'espressione della forma [math]\sqrt{a \pm \sqrt{b\\\\\i}.[Chiediamo le soluzioni [math]x[/math] e [math]y[/math] per le quali

[math]\sqrt{a \pm \sqrt{b\,} = \lvert,\sqrt{x} \sqrt{y},\rvert\,. \tag{T}[/math]

Sulla base dell'equazione (I), richiediamo che [math]x[/math] e [math]y [/math] soddisfino le equazioni [math]a = x + y,[/math] e [math]b = 4xy,[/math] che si riducono a [math]y = a - x,[/math] e soluzioni [math]x[/math] dell'equazione quadratica [math]4x^2 - 4ax + b = 0.[Queste soluzioni si trovano facilmente

[math]\begin{align}x &= \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2},,\tag{xsol}\y &= a - x = \frac{a \mp \sqrt{a^2 - b}{2},

cioè, se [math]x[/math] è una delle due soluzioni dell'equazione quadratica, allora [math]y[/math] è l'altra. Vediamo quindi che il radicale annidato si semplifica in una somma di radicali della forma dell'equazione (T) per tutti i valori di [math]x[/math] e [math]y[/math] che soddisfano le equazioni (xsol) e (ysol), ma questi sono reali e distinti se e solo se il discriminante [math]d = a^2 - b[/math] è positivo. Forse più importante, sono razionali se e solo se questo discriminante è un quadrato perfetto.

Applicazioni.

Il primo caso a cui applicare l'algoritmo è il problema in questione: [math]\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{7 + \sqrt{40}},[/math] con [math]a=7,[/math] e [math]b = 40.[Abbiamo [math]d = a^2 - b = 9,[/math] un quadrato perfetto, quindi le soluzioni [math]x = (a + \sqrt{d})/2 = (7 + 3)/2 = 5,[/math] e [math]y = a - x = 7 - 5 = 2.[/math] Quindi, come altri hanno trovato per ispezione, troviamo da equazione (T): [math]\sqrt{7+2sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + Per il problema di Ajay Patel, l'espressione era [math]\sqrt{9-\sqrt{32}, con [math]a = 9[/math] e [math]b = 32.[Poiché [math]a^2 - b = 81 - 32 = 49,[/math] di nuovo un quadrato perfetto, le soluzioni sono [math]x = (9 - 7)/2 = 1,[/math] e [math]y = 9 - 1 = 8,[/math] quindi abbiamo dall'equazione (T): [math]\sqrt{9-\sqrt{32}} = |sqrt{1} - \sqrt{8}| = 2\sqrt{2} - 1.[/math]

Infine, il problema che mi ha spinto a questa ingrata ricerca ha coinvolto il radicale [math]\sqrt{7 \pm \sqrt{13}},[/math] che appare nell'equazione (q1). Probabilmente non sarei stato abbastanza brillante da ottenere questo per ispezione, come la maggior parte di coloro che hanno risolto il particolare problema indicato in questa domanda hanno fatto (non dicendo che non può essere fatto, solo dicendo che probabilmente non avrei potuto farlo). Qui abbiamo [math]a = 7[/math], [math]b = 13,[/math] quindi [math]a^2 - b = 36,[/math] anche questo un quadrato perfetto. Le soluzioni sono [math]x = (7 \pm 6)/2 = \1/2,\\1/2,\13/2\},[/math] e [math]y = 7 - x = \13/2,\1/2\}.[Prendendo il segno superiore (secondo membro dell'insieme di soluzioni), abbiamo

[math]\sqrt{7 + \sqrt{13}} = |sqrt{1/2} + \sqrt{13/2},| = \frac{1}{\sqrt{2}}},|1 + \sqrt{13},| = \frac{1}{\sqrt{2}},(\sqrt{13} + 1\,)\,,[/math]

mentre con il segno inferiore (primo membro dell'insieme di soluzioni):

[math]\sqrt{7 - \sqrt{13}} = |sqrt{13/2} - \sqrt{1/2},| = \frac{1}{sqrt{2}},|sqrt{13} - 1\,| = \frac{1}{sqrt{2}}},(\sqrt{13} - 1\,)\,,[/math]

o per riassumere: [math]\sqrt{7 \pm \sqrt{13}} = (\sqrt{13} \pm 1)/\sqrt{2}.[/math] Sostituendo questo risultato nell'equazione (q1), vediamo facilmente ora (senza usare una calcolatrice) perché il segno superiore dà un'affermazione vera, mentre quello inferiore no, quindi il segno superiore dà l'unica soluzione di quel problema.

Com'è il vecchio detto, "ha portato un cannone a una battaglia di coltelli"? Lo so, solo che non riuscivo a vedere un altro modo in quel momento.