Perché Achille e la tartaruga sono un paradosso?

Non lo è affatto. È un gioco matematico. Ho risposto a questa domanda in dettaglio altrove. Riporterò qui la risposta (Achille e la tartaruga è in realtà un esempio di paradosso di Zeno).

Spiego il paradosso di Zeno. Sono sicuro che questa spiegazione esiste già da qualche parte, anche se non sono a conoscenza di questa particolare spiegazione. Continuate a leggere e vedrete. Prima, un po' di background.

Per cominciare, un paradosso non deve necessariamente essere contrario alla realtà. Piuttosto, deve essere contrario alle nostre aspettative sulla realtà. Direi che i paradossi veri e propri non esistono, non se le antinomie sono entrambe "vere". O una delle antinomie è sbagliata, risolvendo così il paradosso; o c'è una spiegazione scientifica che risolverebbe il paradosso - ma questa spiegazione potrebbe non essere ancora stata scoperta o, forse, è anche al di là della conoscenza delle più grandi menti umane.

Secondo, nel caso del paradosso di Zenone, è vero che molti grandi matematici lo hanno considerato un vero paradosso. Poi ancora, Newton credeva nell'alchimia e nell'astrologia. Come ho suggerito in una recente risposta (Steven Mason's answer to Honest question..Does Isaac Newton's belief in Alchemy try that he was just an idiot, as he was a genius?), genius is not the same as infallibility (real infallibility, not Papal "infallibility).

I don't think one can understand Zeno's paradox without understanding something about infinite series which converge. Ma questo non basta. Bisogna capire come Zeno inverte la distanza e il tempo.

La spiegazione

Il modo in cui risolverei il paradosso è ripristinando il contesto lasciato cadere che Zeno ha escluso (e che Zeno stesso non conosceva). Immaginate che nel prossimo secondo io viaggi 0,1 cm, nel prossimo 0,01, nel prossimo 0,001, ecc. Chiaramente, continuerò a muovermi, ma non andrò mai più di 0,111...cm -- mai -- che converge a 1/9 cm. Qui sto rallentando, ma il tempo è costante. Se il tempo è costante, allora se stai viaggiando in avanti a QUALSIASI velocità costante, non importa quanto piccola, allora la somma delle tue distanze all'infinito divergerà e alla fine, anche se viaggi 1 x 10^-900 cm/s, mi supererai (anche se l'universo sarà già finito da un pezzo, peccato).

Ma questo è troppo ovvio.

Quindi quello che fa Zeno è diverso. Mantiene la distanza costante, ma continua a ridurre il tempo trascorso. Il tempo trascorso converge. In altre parole, il tempo finisce! Qualunque sia il punto in cui il tempo finisce, nel paradosso di Zenone è impostato in modo tale che Achille, nella quantità di tempo convergente, non può in alcun modo aver superato la Tartaruga. Il tempo è finito! Ma questo è l'errore. Questo non è il 4° quarto di una partita di calcio in cui il calciatore deve fare un FG a 1 secondo dalla fine. Il tempo in realtà continua, oltre il limite convergente arbitrario che il paradosso di Zeno stabilisce. L'istante in cui il punto convergente nella linea del tempo è stato superato è lo stesso istante in cui Achille supera la tartaruga.

Zeno sta semplicemente rimpicciolendo il tempo, ma noi siamo così concentrati sulla deviazione della distanza che non ci rendiamo conto che il tempo, nel mondo di Zeno, è finito, anche se Zeno ci parla come se il tempo continuasse ad andare avanti. Questa è la risoluzione del paradosso!

La domanda è: se Penn & Teller fossero vissuti all'epoca, sarebbero stati ingannati?