Se C = f(T) dà il costo, in dollari, per estrarre T tonnellate di calcare da una cava, qual è il significato dell'affermazione f' (5000) = 285?

Non sono sicuro di cosa vogliano qui, ma devi riconoscere una derivata quando la vedi ed essere a tuo agio nell'assegnare [le corrette] unità che la accompagnano.

Non hai avuto problemi a dire che C = f(T) è il costo in $.

$ è un'unità.

f' è una derivata. L'unica variabile disponibile per differenziare con/da è T, quindi f' deve essere dC/dT e quelle unità devono essere $ /Tons perché è quello che dicono che sia/siano.

Ora dC/dT è una funzione proprio come C è una funzione e tu ne sai molto poco.

E per definizione, dC/dT è la pendenza della curva C vs T e tu non sai cos'è f quindi non hai idea di come sia: linea retta? costante? esponenziale? Seno? Non c'è modo di sapere che aspetto abbia.

Ma sai che la pendenza di quella curva è 285 [quali sono le unità della derivata?] quando T = 5000.

Questo è il significato di dire f'(5000) = 285.

Così se il proprietario viene da te e ti chiede come vanno le cose, tutto quello che puoi dirgli è: "Beh, quando siamo arrivati a 5000 tonnellate, ti costava 285 dollari per tonnellata per tirarlo fuori."

Quella è la pendenza della curva in quel punto e non hai idea di quale sia la pendenza in qualsiasi altro punto.

Devi studiare questo finché non dici: "Beh, ovviamente, è così". Non smettere di studiarlo finché non raggiungi quel punto.

Perché dovrebbe essere ovvio per te e hai bisogno di impararlo ORA.