Quali sono gli omomorfismi da Q8 a Z4 e da Q8 a Z8?

Abbiamo (Q_8) = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} e (Z_4)={[0],[1],[2],[3]}.

Se f: (Q_8)→(Z_4) è un omomorfismo, allora f(1) = [0], f(-1)=[0] o [2] perché [(-1)^2]=1.

Nel primo caso, l'ordine di f(i) deve dividere l'ordine di i, che è 4 e quindi f(i) è di ordine 4, 2 o 1. Nel primo caso f(i) può essere [1] o [3]. Di conseguenza f(-i) = [3] o [1] rispettivamente. E in entrambi i casi f(-1) = f(i.i)= [2].

Poi se prendiamo anche f(j) = [1], allora f(k)=f(i.j) = f(i)+f(j) = [1]+[1]=[2] o [3]+[1]=[0]. Questo dà [2] = f(-1) = f(k.k) = f(k)+f(k) =[2]+[2]=[0] o [0]+[0] =[0], portando ad una contraddizione. Questo implica che sia f(i) che f(j) non possono essere di ordine 4.

Prendiamo quindi f(j)=[2]. Questo dà [2] = f(-1)=f(j.j)=f(j)+f(j)=[2]+[2]=[0] #. Gli argomenti precedenti mostrano che nessuno degli elementi di Q_8, di ordine 4, può essere mappato in un elemento di ordine 4 in Z_4.

Quindi le immagini di i, j e k e i loro inversi devono essere [2] o [0]. Se f(i)=[2]=f(j), allora f(k)=f(i.j)=f(i)+f(j)=[2]+[2]=[0] =f(-k). Un po' di riflessione in considerazione della struttura di Q_8 sulla simmetria degli elementi di ordine di 4 mostra che gli unici omomorfi: Q_8→Z_4 sono i seguenti:

1: f(a) = [0] per tutti a in Q_8.

2: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [2]), (-i, [2]), (j, [2]), (-j, [2]), (k, [0]), (-k, [0])}.

3: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [2]), (-i, [2]), (j, [0]), (-j, [0]), (k, [2]), (-k, [2])}.

4: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [0]), (-i, [0]), (j, [2]), (-j, [2]), (k, [2]), (-k, [2])}.

Ora troviamo l'omomorfismo dal gruppo hamiltoniano Q_8 al gruppo Z_8 di numeri interi sotto addizione modulo 8:

Z_8 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}. Si noti che questo gruppo ha gli elementi [1], [3], [5] e [7] che sono di ordine 8 in quanto ognuno di essi è un generatore del gruppo. Poiché gli ordini degli elementi di Q_8 sono solo 1, 2 o 4, nessuno dei loro elementi può essere mappato da un omomorfismo. Quindi se f:Q_8→Z_8 è un qualsiasi omomorfismo, l'immagine di f è contenuta nel sottogruppo H={[0], [2], [4], [6]}. Si noti inoltre che H è isomorfo al gruppo Z_4 sotto +. Quindi possiamo ottenere tutti gli omomorfismi dalla prima metà della risposta semplicemente sostituendo l'immagine [2] lì con [4] qui, poiché H è un gruppo ciclico di ordine 4 generato da [2] (o da [6]). Quindi anche qui ci sono esattamente 4 omomorfismi che possono essere scritti esplicitamente, come indicato sopra.